¿Por qué la frecuencia crece con el número de modo?

Los modos altos son más cortos en longitud de onda efectiva, y f ∝ 1/λ². La viga tiene que flexionarse más bruscamente, la fuerza recuperadora es mayor y las oscilaciones son más rápidas.

¿En qué se diferencia una viga real de este modelo?

Hay amortiguamiento interno. En vigas gruesas hacen falta el cortante y la inercia de rotación (Timoshenko). Las flechas grandes dan no linealidad geométrica, que aquí no está.

¿Para qué le sirven al ingeniero los modos de flexión?

Para no caer en resonancia: si la frecuencia de la carga (una máquina, el viento, los pasos) coincide con una frecuencia propia, la amplitud crece. Así se proyectan vigas, puentes, alas y MEMS.

¿Por qué la frecuencia fundamental del voladizo es menor que la de una viga empotrada en ambos extremos?

Dos empotramientos hacen la rigidez a la flexión mayor que en un voladizo con un extremo libre. La frecuencia crece como √(rigidez/masa), de modo que f₁ de la viga empotrada es más alta.

Análisis modal de una viga de Euler-Bernoulli

Los tres primeros modos de flexión: valores propios λ de las condiciones de frontera; f ∝ (λ/L)²√(EI/μ). Apoyo simple, voladizo, empotramiento.

Sobre el modelo

El análisis modal de una viga de Euler-Bernoulli describe las oscilaciones libres de flexión de una viga delgada. Obedecen la ecuación EI ∂⁴w/∂x⁴ + μ ∂²w/∂t² = 0, donde EI es la rigidez a la flexión y μ la masa por unidad de longitud. Las soluciones son modos normales: cada forma w_n(x) oscila a su frecuencia propia. Las condiciones de frontera (simplemente apoyada, voladizo, empotrada–empotrada) fijan los λ_n admisibles; la frecuencia f_n ∝ (λ_n/L)² √(EI/μ). En la viga simplemente apoyada, λ_n = nπ y las formas son senos. Simplificaciones de la teoría: elasticidad lineal, flechas pequeñas, sin cortante ni inercia de rotación (a diferencia de Timoshenko), sin amortiguamiento. En pantalla, el eje no deformado y la forma normalizada del modo elegido; se pueden cambiar L, EI, μ y el tipo de apoyos.

Para quién: Dinámica de estructuras y oscilaciones de sistemas continuos en facultad: modos de flexión de una viga.

Conceptos clave

viga de Euler-Bernoulli
modo normal
condiciones de frontera
frecuencia propia
rigidez a la flexión
análisis modal
voladizo

Cómo funciona

La flexión de una viga de Euler-Bernoulli da un espectro discreto: ω_n = (λ_n/L)² √(EI/μ), donde λ_n sale de las condiciones de frontera (en apoyos simples, λ_n = nπ). En pantalla, las tres primeras formas: simplemente apoyada, voladizo o doble empotramiento. Más rígida o más liviana la viga, más altas las frecuencias propias.

Fórmulas principales

EI w′′′′ + μ ω² w = 0 → w(x) ∝ sin(nπx/L) para simplemente apoyada; λ_n de ecuaciones trascendentes para los otros extremos.

ω_n = (λ_n/L)² √(EI/μ),   f_n = ω_n/(2π).

Preguntas frecuentes

¿Por qué la frecuencia crece con el número de modo?: Los modos altos son más cortos en longitud de onda efectiva, y f ∝ 1/λ². La viga tiene que flexionarse más bruscamente, la fuerza recuperadora es mayor y las oscilaciones son más rápidas.
¿En qué se diferencia una viga real de este modelo?: Hay amortiguamiento interno. En vigas gruesas hacen falta el cortante y la inercia de rotación (Timoshenko). Las flechas grandes dan no linealidad geométrica, que aquí no está.
¿Para qué le sirven al ingeniero los modos de flexión?: Para no caer en resonancia: si la frecuencia de la carga (una máquina, el viento, los pasos) coincide con una frecuencia propia, la amplitud crece. Así se proyectan vigas, puentes, alas y MEMS.
¿Por qué la frecuencia fundamental del voladizo es menor que la de una viga empotrada en ambos extremos?: Dos empotramientos hacen la rigidez a la flexión mayor que en un voladizo con un extremo libre. La frecuencia crece como √(rigidez/masa), de modo que f₁ de la viga empotrada es más alta.

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