Warum ist mein D̂ nicht gleich 91/48?

91/48 gilt für den kritischen perkolierenden Cluster im thermodynamischen Limes. Endliche Größe L, Korrekturen und eine einzige Realisierung ergeben Abweichungen; selbst der Mittelwert über viele Stichproben bei p ≈ p_c liefert nur qualitative Übereinstimmung.

Ist das Kanten- oder Platzperkolation?

Platzperkolation: die Zufälligkeit sitzt auf den Knoten, Kanten zwischen besetzten Nachbarn sind implizit. Kantenperkolation würde die Kanten zufällig belegen und hätte ein anderes p_c.

Heißt „Durchgang“, dass der größte Cluster die Ränder verbinden muss?

Nein. Der goldene Rahmen bedeutet, dass irgendein offener Cluster die linke Spalte mit der rechten verbindet. Der größte Cluster ist zur Anschauung und für die Schätzung D̂ hervorgehoben; durchgehen kann aber ein dünner Cluster.

Platzperkolation auf dem Quadratgitter

Besetzungswahrscheinlichkeit p: Cluster, Durchgang von links nach rechts, Schwelle p_c ≈ 0,593; grobe Schätzung der Dimension des größten Clusters durch Überdeckung mit Quadraten.

Zum Modell

Platzperkolation auf dem Quadratgitter: jeder Platz ist unabhängig mit Wahrscheinlichkeit p besetzt. Besetzte Nachbarn über eine Kante bilden Cluster. An der Schwelle des unendlichen Gitters p_c ≈ 0,592746 divergiert die Korrelationslänge; der perkolierende Cluster (falls vorhanden) ist fraktal, D_f = 91/48 in 2D. Es wird eine endliche Realisierung gebaut: Zusammenhangskomponenten, größter Cluster und ob ein Durchgang von links nach rechts besteht (durchgehen muss nicht der größte). Die grobe Dimension des größten Clusters kommt aus der Überdeckung mit Quadraten; bei kleinen Stichproben ist die Schätzung verrauscht.

Für wen: Phasenübergänge auf Gittern und Skalierung.

Wichtige Begriffe

Platzperkolation
Perkolationsschwelle
perkolierender Cluster
fraktale Dimension
Überdeckung mit Quadraten

So funktioniert es

Zufällige Besetzung der Plätze mit Wahrscheinlichkeit p: Zusammenhangscluster, Durchgang durch das Gitter bei p_c ≈ 0,593, grobe fraktale Dimension durch Überdeckung mit Quadraten am größten Cluster.

Häufige Fragen

Warum ist mein D̂ nicht gleich 91/48?: 91/48 gilt für den kritischen perkolierenden Cluster im thermodynamischen Limes. Endliche Größe L, Korrekturen und eine einzige Realisierung ergeben Abweichungen; selbst der Mittelwert über viele Stichproben bei p ≈ p_c liefert nur qualitative Übereinstimmung.
Ist das Kanten- oder Platzperkolation?: Platzperkolation: die Zufälligkeit sitzt auf den Knoten, Kanten zwischen besetzten Nachbarn sind implizit. Kantenperkolation würde die Kanten zufällig belegen und hätte ein anderes p_c.
Heißt „Durchgang“, dass der größte Cluster die Ränder verbinden muss?: Nein. Der goldene Rahmen bedeutet, dass irgendein offener Cluster die linke Spalte mit der rechten verbindet. Der größte Cluster ist zur Anschauung und für die Schätzung D̂ hervorgehoben; durchgehen kann aber ein dünner Cluster.

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