Warum steigt die Bose-Einstein-Kurve bei μ steil an?

Beim idealen Bose-Gas divergiert die Besetzung bei E → μ⁺. In der Realität heben Wechselwirkung und endliches Volumen die Singularität auf; im Modell werden Punkte mit unphysikalischem Nenner weggelassen oder begrenzt.

Wann stimmt Maxwell-Boltzmann mit Fermi-Dirac überein?

Bei kleinen Besetzungen f ≪ 1 spielt das Pauli-Prinzip keine Rolle und f_FD ≈ e^{β(μ−E)} = f_MB. Das Verhältnis f_MB / f_FD in der Seitenleiste geht in diesem Regime gegen 1.

Warum zeichnet man das Bose-Gas nur bei E > μ?

Sonst ändert der Nenner e^{β(E−μ)} − 1 das Vorzeichen oder wird null: die mittlere Besetzung des Niveaus ist dann nicht definiert. Das chemische Potential eines idealen Bose-Gases kann die Energie des Grundniveaus nicht überschreiten.

Bose-Einstein- und Fermi-Dirac-Verteilung

Besetzung f(E) im großkanonischen Ensemble bei denselben T und μ: Fermi-Dirac, Bose-Einstein und klassisches Maxwell-Boltzmann.

Besetzung gegen die Einteilchenenergie E (dieselben μ und k_B T). Die Hauptgrafik liegt darunter — erhöhen Sie T oder verschieben Sie μ, um die Aufweichung von FD und die Annäherung von MB an FD im verdünnten Schwanz zu sehen.

Diagramme

Zum Modell

Bose-Einstein- und Fermi-Dirac-Verteilung: für nichtwechselwirkende identische Teilchen im Gleichgewicht mit einem Reservoir bei T und μ gibt die Quantenstatistik die mittlere Besetzung eines Einteilchenniveaus der Energie E. Fermi-Dirac mit Pauli-Prinzip: f_FD = 1/(e^{β(E−μ)} + 1). Bose-Einstein: f_BE = 1/(e^{β(E−μ)} − 1) bei E > μ im idealen Gas (Divergenz bei E → μ⁺ — Bereich der Kondensation, hier ohne volle Wechselwirkung). Klassisches Maxwell-Boltzmann f_MB = e^{β(μ−E)} ist der verdünnte Grenzfall. Die Grafik legt alle drei Funktionen bei denselben T und μ übereinander.

Für wen: Thermodynamik und Quantenstatistik im Studium: großkanonisches Ensemble.

Wichtige Begriffe

Fermi-Dirac-Verteilung
Bose-Einstein-Verteilung
Maxwell-Boltzmann-Verteilung
chemisches Potential
großkanonisches Ensemble
Pauli-Prinzip

So funktioniert es

Nichtwechselwirkende identische Teilchen im großkanonischen Ensemble: mittlere Besetzung eines Niveaus der Energie E bei Temperatur T und chemischem Potential μ. Fermi-Dirac f_FD = 1/(e^{β(E−μ)}+1) wegen des Pauli-Prinzips; Bose-Einstein f_BE = 1/(e^{β(E−μ)}−1) bei E > μ; klassisches Maxwell-Boltzmann f_MB = e^{β(μ−E)} — verdünnter Grenzfall f ≪ 1. Drei Kurven in einer Grafik bei denselben k_B T und μ. Beim Bose-Gas wächst f_BE bei E → μ⁺; im Modell ist die Kurve begrenzt, damit sie mit Fermi-Dirac vergleichbar bleibt.

Häufige Fragen

Warum steigt die Bose-Einstein-Kurve bei μ steil an?: Beim idealen Bose-Gas divergiert die Besetzung bei E → μ⁺. In der Realität heben Wechselwirkung und endliches Volumen die Singularität auf; im Modell werden Punkte mit unphysikalischem Nenner weggelassen oder begrenzt.
Wann stimmt Maxwell-Boltzmann mit Fermi-Dirac überein?: Bei kleinen Besetzungen f ≪ 1 spielt das Pauli-Prinzip keine Rolle und f_FD ≈ e^{β(μ−E)} = f_MB. Das Verhältnis f_MB / f_FD in der Seitenleiste geht in diesem Regime gegen 1.
Warum zeichnet man das Bose-Gas nur bei E > μ?: Sonst ändert der Nenner e^{β(E−μ)} − 1 das Vorzeichen oder wird null: die mittlere Besetzung des Niveaus ist dann nicht definiert. Das chemische Potential eines idealen Bose-Gases kann die Energie des Grundniveaus nicht überschreiten.

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