Warum kehrt sich die Magnetisierung bei niedriger T manchmal als Ganzes um?

Auf einem endlichen Gitter ohne Feld ist die Barriere zwischen „alle nach oben“ und „alle nach unten“ endlich. Eine seltene Fluktuation kann das System umkehren. Im thermodynamischen Limes ist ein solcher Umschlag verschwindend unwahrscheinlich.

Welche Systeme außer dem Magneten beschreibt das Ising-Modell?

Binäre Freiheitsgrade: den Übergang Ordnung–Unordnung in Legierungen, das Gittergas am kritischen Punkt flüssig–gasförmig, vereinfachte Meinungsmodelle. Der Hauptwert ist die Universalität des kontinuierlichen Phasenübergangs.

Warum „rauscht“ das Bild in der Nähe von T_c?

Die Korrelationslänge divergiert: Cluster gleichgerichteter Spins auf allen Skalen. Große, langsame Fluktuationen von |m| und der Energie sind ein Zeichen des kritischen Punkts, kein Fehler des Algorithmus.

Wodurch ist das Ising-Modell einfacher als ein realer Magnet?

Reale Spins sind quantenmechanische Vektoren, nicht streng „oben/unten“. Das klassische Heisenberg-Modell liegt näher. Das Ising-Modell behält die Konkurrenz von Austausch und thermischer Unordnung, die für den Phasenübergang ausreicht.

Ising-Modell (2D)

Metropolis-Algorithmus auf dem Quadratgitter: kT/J, Magnetisierung |m| und Energie; T_c ≈ 2,27; optionales Feld h.

Zum Modell

Das zweidimensionale Ising-Modell auf dem Quadratgitter: an jedem Platz ein Spin σ_i = ±1. Die Hamilton-Funktion ist H = −J Σ_{⟨i,j⟩} σ_i σ_j − h Σ_i σ_i (Summe über nächste Nachbarn; J > 0 ist ferromagnetisch). Der Metropolis-Algorithmus aktualisiert die Konfigurationen: eine Umkehr wird mit der Wahrscheinlichkeit ~ exp(−ΔE / kT) angenommen. Magnetisierung pro Spin m = (1/N) Σ σ_i und Energie pro Spin hängen von kT/J und vom Feld h ab. In 2D liegt die Onsager-Temperatur bei T_c ≈ 2,269 J/k_B: unterhalb von T_c gibt es spontane Magnetisierung, oberhalb ist die Fernordnung zerstört. Das Gitter ist endlich, die Ränder periodisch; das ist ein didaktischer Metropolis-Lauf, keine Untersuchung der endlichen Systemgröße.

Für wen: Statistische Mechanik und Computerphysik: Phasenübergang, Monte-Carlo.

Wichtige Begriffe

Ising-Modell
Phasenübergang
kritische Temperatur
Metropolis-Algorithmus
spontane Magnetisierung
Ferromagnetismus
Monte-Carlo-Verfahren

So funktioniert es

Auf dem Quadratgitter wechselwirken Spins ±1 mit den Nachbarn (Austausch J) und mit dem Feld h. Der Metropolis-Algorithmus kehrt Spins mit der Wahrscheinlichkeit exp(−ΔE/kT) um. Unterhalb von T_c ≈ 2,27 J/k_B wachsen Domänen und |m| > 0; oberhalb von T_c fluktuiert die Magnetisierung um null. Auf dem Bildschirm Gitter, |m| und Energie pro Spin.

Häufige Fragen

Warum kehrt sich die Magnetisierung bei niedriger T manchmal als Ganzes um?: Auf einem endlichen Gitter ohne Feld ist die Barriere zwischen „alle nach oben“ und „alle nach unten“ endlich. Eine seltene Fluktuation kann das System umkehren. Im thermodynamischen Limes ist ein solcher Umschlag verschwindend unwahrscheinlich.
Welche Systeme außer dem Magneten beschreibt das Ising-Modell?: Binäre Freiheitsgrade: den Übergang Ordnung–Unordnung in Legierungen, das Gittergas am kritischen Punkt flüssig–gasförmig, vereinfachte Meinungsmodelle. Der Hauptwert ist die Universalität des kontinuierlichen Phasenübergangs.
Warum „rauscht“ das Bild in der Nähe von T_c?: Die Korrelationslänge divergiert: Cluster gleichgerichteter Spins auf allen Skalen. Große, langsame Fluktuationen von |m| und der Energie sind ein Zeichen des kritischen Punkts, kein Fehler des Algorithmus.
Wodurch ist das Ising-Modell einfacher als ein realer Magnet?: Reale Spins sind quantenmechanische Vektoren, nicht streng „oben/unten“. Das klassische Heisenberg-Modell liegt näher. Das Ising-Modell behält die Konkurrenz von Austausch und thermischer Unordnung, die für den Phasenübergang ausreicht.

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