Warum ist die Verteilung des Geschwindigkeitsbetrags nicht gaußsch, obwohl die Komponenten gaußsch sind?

Die Komponente v_x ist gaußsch, |v| = √(v_x²+v_y²+v_z²) ist eine nichtnegative Größe. Die Wahrscheinlichkeit, in eine dünne Schicht der Geschwindigkeit v zu fallen, ist proportional zur Kugelfläche 4πv² im Geschwindigkeitsraum, multipliziert mit der gaußschen Dichte. Der Faktor v² ergibt null bei v = 0, ein Maximum und einen exponentiellen Schwanz.

Was geschieht mit den Molekülen, wenn die Temperatur steigt?

Die mittlere kinetische Energie wächst. Die |v|-Kurve wird breiter und verschiebt sich nach rechts: mehr Moleküle mit großen Geschwindigkeiten. Daher steigen unter anderem Reaktions- und Verdampfungsraten mit der Temperatur.

Warum ist das Histogramm gezackt, die Theorie glatt?

Das Histogramm stammt aus einer endlichen Stichprobe. Bei kleiner Teilchenzahl sind die Schwankungen groß. Die theoretische Kurve ist der Grenzwert eines unendlichen Ensembles; eine größere Stichprobe glättet die Säulen (Gesetz der großen Zahlen).

Gilt die Verteilung für reale Gase?

Eine gute Näherung bei niedriger Dichte und mäßigen T, wenn man Kräfte zwischen den Molekülen vernachlässigen darf. Nahe der Kondensation und bei hoher Dichte kann die Verteilung abweichen. Vorausgesetzt ist thermisches Gleichgewicht, keine starken Gradienten oder Strömungen.

Maxwell-Boltzmann-Verteilung

Histogramm des Betrags |v| aus gaußschen Komponenten im Vergleich zur dreidimensionalen Maxwell-Wahrscheinlichkeitsdichte; Temperatur und Stichprobenumfang.

Zum Modell

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung beschreibt die Streuung der Geschwindigkeitsbeträge der Moleküle eines idealen Gases im Gleichgewicht. Jede Komponente v_x, v_y, v_z ist eine unabhängige gaußsche Größe mit Mittelwert null und Varianz ∝ T; der Betrag |v| = √(v_x² + v_y² + v_z²) hat die Dichte f(v) ∝ v² exp(−mv²/(2k_B T)). Das Histogramm einer endlichen Stichprobe wird mit der theoretischen Kurve verglichen. Variiert werden T und die Teilchenzahl: sichtbar sind die wahrscheinlichste, die mittlere und die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit; ⟨½mv²⟩ = (3/2)k_B T. Zwischenmolekulare Kräfte und äußere Felder fehlen.

Für wen: Gymnasium (Jgst. 10–11), kinetische Gastheorie und Einführung in die statistische Physik.

Wichtige Begriffe

maxwell-boltzmann-verteilung
wahrscheinlichkeitsdichte
quadratisch gemittelte geschwindigkeit
wahrscheinlichste geschwindigkeit
kinetische gastheorie
thermisches gleichgewicht
ideales gas

So funktioniert es

Im Gleichgewicht haben klassische Teilchen in 3D gaußsche Geschwindigkeitskomponenten. Der Betrag |v| = √(v_x²+v_y²+v_z²) ist nicht gaußsch: die Kurve steigt vom Nullpunkt, erreicht die wahrscheinlichste Geschwindigkeit und fällt exponentiell ab. Auf dem Bildschirm wird das Histogramm der Stichprobe mit der theoretischen Dichte verglichen; Schieberegler für T (σ² ∝ T) und die Teilchenzahl. Die mittlere kinetische Energie ⟨½mv²⟩ = (3/2)k_B T.

Wichtige Gleichungen

f(v) = 4π (m / 2πkT)^{3/2} v² exp(−mv² / 2kT)

Häufige Fragen

Warum ist die Verteilung des Geschwindigkeitsbetrags nicht gaußsch, obwohl die Komponenten gaußsch sind?: Die Komponente v_x ist gaußsch, |v| = √(v_x²+v_y²+v_z²) ist eine nichtnegative Größe. Die Wahrscheinlichkeit, in eine dünne Schicht der Geschwindigkeit v zu fallen, ist proportional zur Kugelfläche 4πv² im Geschwindigkeitsraum, multipliziert mit der gaußschen Dichte. Der Faktor v² ergibt null bei v = 0, ein Maximum und einen exponentiellen Schwanz.
Was geschieht mit den Molekülen, wenn die Temperatur steigt?: Die mittlere kinetische Energie wächst. Die |v|-Kurve wird breiter und verschiebt sich nach rechts: mehr Moleküle mit großen Geschwindigkeiten. Daher steigen unter anderem Reaktions- und Verdampfungsraten mit der Temperatur.
Warum ist das Histogramm gezackt, die Theorie glatt?: Das Histogramm stammt aus einer endlichen Stichprobe. Bei kleiner Teilchenzahl sind die Schwankungen groß. Die theoretische Kurve ist der Grenzwert eines unendlichen Ensembles; eine größere Stichprobe glättet die Säulen (Gesetz der großen Zahlen).
Gilt die Verteilung für reale Gase?: Eine gute Näherung bei niedriger Dichte und mäßigen T, wenn man Kräfte zwischen den Molekülen vernachlässigen darf. Nahe der Kondensation und bei hoher Dichte kann die Verteilung abweichen. Vorausgesetzt ist thermisches Gleichgewicht, keine starken Gradienten oder Strömungen.

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