¿Por qué la distribución del módulo de la velocidad no es gaussiana si las componentes sí lo son?

La componente v_x es gaussiana, pero |v| = √(v_x²+v_y²+v_z²) no puede ser negativa. La probabilidad de caer en una capa delgada de velocidad v es proporcional al área de la esfera 4πv² en el espacio de velocidades, por la densidad gaussiana. El factor v² da cero en v = 0, un máximo y una cola exponencial.

¿Qué les ocurre a las moléculas al subir la temperatura?

Crece la energía cinética media. La curva de |v| se ensancha y se corre a la derecha: hay más moléculas rápidas. De ahí, entre otras cosas, que suban con T las velocidades de reacción y de evaporación.

¿Por qué el histograma es dentado y la teoría es suave?

El histograma se construye con una muestra finita. Con pocas partículas las fluctuaciones son grandes. La curva teórica es el límite de un ensamble infinito; al crecer la muestra se suavizan las barras (ley de los grandes números).

¿Sirve la distribución para gases reales?

Es una buena aproximación a densidad baja y T moderada, cuando se pueden despreciar las fuerzas entre moléculas. Cerca de la condensación y a densidad alta la distribución puede desviarse. Se supone equilibrio térmico, no gradientes fuertes ni flujos.

Distribución de Maxwell-Boltzmann

Histograma del módulo |v| a partir de componentes gaussianas, comparado con la densidad de probabilidad de Maxwell en 3D; temperatura y tamaño de la muestra.

Sobre el modelo

La distribución de Maxwell-Boltzmann da el reparto de los módulos de velocidad de las moléculas de un gas ideal en equilibrio. Cada componente v_x, v_y, v_z es una variable gaussiana independiente de media nula y varianza ∝ T; el módulo |v| = √(v_x² + v_y² + v_z²) tiene densidad f(v) ∝ v² exp(−mv²/(2k_B T)). El histograma de una muestra finita se compara con la curva teórica. Se varían T y el número de partículas: se ven la velocidad más probable, la media y la media cuadrática; ⟨½mv²⟩ = (3/2)k_B T. No hay fuerzas intermoleculares ni campos externos.

Para quién: Bachillerato, teoría cinética e introducción a la física estadística.

Conceptos clave

distribución de Maxwell-Boltzmann
densidad de probabilidad
velocidad media cuadrática
velocidad más probable
teoría cinética de los gases
equilibrio térmico
gas ideal

Cómo funciona

En equilibrio, las partículas clásicas en 3D tienen componentes de velocidad gaussianas. El módulo |v| = √(v_x²+v_y²+v_z²) no es gaussiano: la curva sale de cero, alcanza la velocidad más probable y cae de forma exponencial. En pantalla el histograma de la muestra se compara con la densidad teórica; controles de T (σ² ∝ T) y del número de partículas. Energía cinética media ⟨½mv²⟩ = (3/2)k_B T.

Fórmulas principales

f(v) = 4π (m / 2πkT)^{3/2} v² exp(−mv² / 2kT)

Preguntas frecuentes

¿Por qué la distribución del módulo de la velocidad no es gaussiana si las componentes sí lo son?: La componente v_x es gaussiana, pero |v| = √(v_x²+v_y²+v_z²) no puede ser negativa. La probabilidad de caer en una capa delgada de velocidad v es proporcional al área de la esfera 4πv² en el espacio de velocidades, por la densidad gaussiana. El factor v² da cero en v = 0, un máximo y una cola exponencial.
¿Qué les ocurre a las moléculas al subir la temperatura?: Crece la energía cinética media. La curva de |v| se ensancha y se corre a la derecha: hay más moléculas rápidas. De ahí, entre otras cosas, que suban con T las velocidades de reacción y de evaporación.
¿Por qué el histograma es dentado y la teoría es suave?: El histograma se construye con una muestra finita. Con pocas partículas las fluctuaciones son grandes. La curva teórica es el límite de un ensamble infinito; al crecer la muestra se suavizan las barras (ley de los grandes números).
¿Sirve la distribución para gases reales?: Es una buena aproximación a densidad baja y T moderada, cuando se pueden despreciar las fuerzas entre moléculas. Cerca de la condensación y a densidad alta la distribución puede desviarse. Se supone equilibrio térmico, no gradientes fuertes ni flujos.

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