Por que a distribuição do módulo da velocidade não é gaussiana, se as componentes o são?

A componente v_x é gaussiana, mas |v| = √(v_x²+v_y²+v_z²) é uma grandeza não negativa. A probabilidade de cair numa camada fina de velocidade v é proporcional à área da esfera 4πv² no espaço das velocidades, vezes a densidade gaussiana. O fator v² dá zero em v = 0, um máximo e uma cauda exponencial.

O que acontece com as moléculas ao aumentar a temperatura?

Cresce a energia cinética média. A curva de |v| fica mais larga e se desloca para a direita: mais moléculas com velocidades grandes. Daí, entre outras coisas, o aumento da velocidade das reações e da evaporação com a temperatura.

Por que o histograma é dentado e a teoria é lisa?

O histograma vem de uma amostra finita. Com poucas partículas as flutuações são grandes. A curva teórica é o limite de um conjunto estatístico infinito; aumentar a amostra alisa as colunas (lei dos grandes números).

A distribuição vale para gases reais?

Boa aproximação a baixa densidade e T moderada, quando as forças entre moléculas se desprezam. Perto da condensação e a alta densidade a distribuição pode desviar. Pressupõe-se equilíbrio térmico, não gradientes fortes nem escoamentos.

Distribuição de Maxwell–Boltzmann

Histograma do módulo da velocidade |v| a partir de componentes gaussianas, comparado à densidade de probabilidade de Maxwell em 3D; temperatura e tamanho da amostra.

Sobre o modelo

A distribuição de Maxwell–Boltzmann descreve a dispersão dos módulos de velocidade das moléculas de um gás ideal em equilíbrio. Cada componente v_x, v_y, v_z é uma variável gaussiana independente, de média nula e variância ∝ T; o módulo |v| = √(v_x² + v_y² + v_z²) tem densidade f(v) ∝ v² exp(−mv²/(2k_B T)). O histograma de uma amostra finita compara-se à curva teórica. Variam-se T e o número de partículas: veem-se as velocidades mais provável, média e quadrática média; ⟨½mv²⟩ = (3/2)k_B T. Não há forças intermoleculares nem campos externos.

Para quem: 2º e 3º anos do ensino médio, teoria cinética, e introdução à física estatística.

Conceitos-chave

distribuição de Maxwell–Boltzmann
densidade de probabilidade
velocidade quadrática média
velocidade mais provável
teoria cinética dos gases
equilíbrio térmico
gás ideal

Como funciona

Em equilíbrio, partículas clássicas em 3D têm componentes de velocidade gaussianas. O módulo |v| = √(v_x²+v_y²+v_z²) não é gaussiano: a curva sobe a partir de zero, atinge a velocidade mais provável e cai exponencialmente. Na tela o histograma da amostra compara-se à densidade teórica; controles de T (σ² ∝ T) e do número de partículas. Energia cinética média ⟨½mv²⟩ = (3/2)k_B T.

Fórmulas principais

f(v) = 4π (m / 2πkT)^{3/2} v² exp(−mv² / 2kT)

Perguntas frequentes

Por que a distribuição do módulo da velocidade não é gaussiana, se as componentes o são?: A componente v_x é gaussiana, mas |v| = √(v_x²+v_y²+v_z²) é uma grandeza não negativa. A probabilidade de cair numa camada fina de velocidade v é proporcional à área da esfera 4πv² no espaço das velocidades, vezes a densidade gaussiana. O fator v² dá zero em v = 0, um máximo e uma cauda exponencial.
O que acontece com as moléculas ao aumentar a temperatura?: Cresce a energia cinética média. A curva de |v| fica mais larga e se desloca para a direita: mais moléculas com velocidades grandes. Daí, entre outras coisas, o aumento da velocidade das reações e da evaporação com a temperatura.
Por que o histograma é dentado e a teoria é lisa?: O histograma vem de uma amostra finita. Com poucas partículas as flutuações são grandes. A curva teórica é o limite de um conjunto estatístico infinito; aumentar a amostra alisa as colunas (lei dos grandes números).
A distribuição vale para gases reais?: Boa aproximação a baixa densidade e T moderada, quando as forças entre moléculas se desprezam. Perto da condensação e a alta densidade a distribuição pode desviar. Pressupõe-se equilíbrio térmico, não gradientes fortes nem escoamentos.

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