Pourquoi la distribution du module de vitesse n’est-elle pas gaussienne, alors que les composantes le sont ?

La composante v_x est gaussienne, mais |v| = √(v_x²+v_y²+v_z²) est une grandeur positive. La probabilité de tomber dans une couche mince de vitesse v est proportionnelle à l’aire de la sphère 4πv² dans l’espace des vitesses, multipliée par la densité gaussienne. Le facteur v² donne zéro en v = 0, un maximum, puis une queue exponentielle.

Que deviennent les molécules si l’on augmente la température ?

L’énergie cinétique moyenne croît. La courbe de |v| s’élargit et se décale vers la droite : davantage de molécules ont de grandes vitesses. D’où, entre autres, l’augmentation de la vitesse des réactions et de l’évaporation avec T.

Pourquoi l’histogramme est-il dentelé, alors que la théorie est lisse ?

L’histogramme est construit sur un échantillon fini. Si le nombre de particules est petit, les fluctuations sont grandes. La courbe théorique est la limite d’un ensemble infini ; agrandir l’échantillon lisse les barres (loi des grands nombres).

La distribution s’applique-t-elle aux gaz réels ?

C’est une bonne approximation à faible densité et T modérée, lorsque l’on peut négliger les forces entre molécules. Près de la condensation et à haute densité, la distribution peut s’écarter. On suppose l’équilibre thermique, pas de forts gradients ni d’écoulement.

Distribution de Maxwell–Boltzmann

Histogramme du module de vitesse |v| à partir de composantes gaussiennes, comparé à la densité de probabilité de Maxwell en 3D ; température et taille de l’échantillon.

À propos du modèle

La distribution de Maxwell–Boltzmann donne la répartition des modules de vitesse des molécules d’un gaz parfait à l’équilibre. Chaque composante v_x, v_y, v_z est une variable gaussienne indépendante, de moyenne nulle et de variance ∝ T ; le module |v| = √(v_x² + v_y² + v_z²) a pour densité f(v) ∝ v² exp(−mv²/(2k_B T)). L’histogramme d’un échantillon fini est comparé à la courbe théorique. On fait varier T et le nombre de particules : apparaissent la vitesse la plus probable, la vitesse moyenne et la vitesse quadratique moyenne ; ⟨½mv²⟩ = (3/2)k_B T. Pas de forces intermoléculaires ni de champ extérieur.

Public : Première, terminale (théorie cinétique) et introduction à la physique statistique.

Notions clés

distribution de Maxwell–Boltzmann
densité de probabilité
vitesse quadratique moyenne
vitesse la plus probable
théorie cinétique des gaz
équilibre thermique
gaz parfait

Comment ça marche

À l’équilibre, les particules classiques en 3D ont des composantes de vitesse gaussiennes. Le module |v| = √(v_x²+v_y²+v_z²) n’est pas gaussien : la courbe part de zéro, atteint la vitesse la plus probable et décroît exponentiellement. À l’écran, l’histogramme d’un échantillon est comparé à la densité théorique ; curseurs T (σ² ∝ T) et nombre de particules. Énergie cinétique moyenne ⟨½mv²⟩ = (3/2)k_B T.

Formules

f(v) = 4π (m / 2πkT)^{3/2} v² exp(−mv² / 2kT)

Questions fréquentes

Pourquoi la distribution du module de vitesse n’est-elle pas gaussienne, alors que les composantes le sont ?: La composante v_x est gaussienne, mais |v| = √(v_x²+v_y²+v_z²) est une grandeur positive. La probabilité de tomber dans une couche mince de vitesse v est proportionnelle à l’aire de la sphère 4πv² dans l’espace des vitesses, multipliée par la densité gaussienne. Le facteur v² donne zéro en v = 0, un maximum, puis une queue exponentielle.
Que deviennent les molécules si l’on augmente la température ?: L’énergie cinétique moyenne croît. La courbe de |v| s’élargit et se décale vers la droite : davantage de molécules ont de grandes vitesses. D’où, entre autres, l’augmentation de la vitesse des réactions et de l’évaporation avec T.
Pourquoi l’histogramme est-il dentelé, alors que la théorie est lisse ?: L’histogramme est construit sur un échantillon fini. Si le nombre de particules est petit, les fluctuations sont grandes. La courbe théorique est la limite d’un ensemble infini ; agrandir l’échantillon lisse les barres (loi des grands nombres).
La distribution s’applique-t-elle aux gaz réels ?: C’est une bonne approximation à faible densité et T modérée, lorsque l’on peut négliger les forces entre molécules. Près de la condensation et à haute densité, la distribution peut s’écarter. On suppose l’équilibre thermique, pas de forts gradients ni d’écoulement.

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