Почему распределение модуля скорости не гауссово, хотя компоненты — гауссовы?

Компонента v_x гауссова, а |v| = √(v_x²+v_y²+v_z²) — неотрицательная величина. Вероятность попасть в тонкий слой скорости v пропорциональна площади сферы 4πv² в пространстве скоростей, умноженной на гауссову плотность. Множитель v² даёт нуль при v = 0, максимум и экспоненциальный хвост.

Что происходит с молекулами при увеличении температуры?

Растёт средняя кинетическая энергия. Кривая |v| становится шире и сдвигается вправо: больше молекул с большими скоростями. Отсюда, среди прочего, рост скорости реакций и испарения с температурой.

Почему гистограмма зубчатая, а теория гладкая?

Гистограмма построена по конечной выборке. При малом числе частиц флуктуации велики. Теоретическая кривая — предел бесконечного ансамбля; рост выборки сглаживает столбцы (закон больших чисел).

Применимо ли распределение к реальным газам?

Хорошее приближение при низкой плотности и умеренных T, когда силами между молекулами можно пренебречь. Вблизи конденсации и при высокой плотности распределение может отклоняться. Предполагается тепловое равновесие, а не сильные градиенты или течения.

Распределение Максвелла–Больцмана

Гистограмма модуля скорости |v| из гауссовых компонент в сравнении с трёхмерной плотностью вероятности Максвелла; температура и размер выборки.

О модели

Распределение Максвелла–Больцмана задаёт разброс модулей скорости молекул идеального газа в равновесии. Каждая компонента v_x, v_y, v_z — независимая гауссова величина с нулевым средним и дисперсией ∝ T; модуль |v| = √(v_x² + v_y² + v_z²) имеет плотность f(v) ∝ v² exp(−mv²/(2k_B T)). Гистограмма по конечной выборке сравнивается с теоретической кривой. Меняются T и число частиц: видны наиболее вероятная, средняя и среднеквадратичная скорости; ⟨½mv²⟩ = (3/2)k_B T. Межмолекулярных сил и внешних полей нет.

Для кого: 10–11 класс, МКТ, и введение в статистическую физику.

Ключевые понятия

распределение Максвелла–Больцмана
плотность вероятности
среднеквадратичная скорость
наиболее вероятная скорость
кинетическая теория газов
тепловое равновесие
идеальный газ

Как это работает

В равновесии классические частицы в 3D имеют гауссовы компоненты скорости. Модуль |v| = √(v_x²+v_y²+v_z²) не гауссов: кривая растёт от нуля, достигает наиболее вероятной скорости и спадает экспоненциально. На экране гистограмма по выборке сравнивается с теоретической плотностью; ползунки T (σ² ∝ T) и числа частиц. Средняя кинетическая энергия ⟨½mv²⟩ = (3/2)k_B T.

Основные формулы

f(v) = 4π (m / 2πkT)^{3/2} v² exp(−mv² / 2kT)

Часто задаваемые вопросы

Почему распределение модуля скорости не гауссово, хотя компоненты — гауссовы?: Компонента v_x гауссова, а |v| = √(v_x²+v_y²+v_z²) — неотрицательная величина. Вероятность попасть в тонкий слой скорости v пропорциональна площади сферы 4πv² в пространстве скоростей, умноженной на гауссову плотность. Множитель v² даёт нуль при v = 0, максимум и экспоненциальный хвост.
Что происходит с молекулами при увеличении температуры?: Растёт средняя кинетическая энергия. Кривая |v| становится шире и сдвигается вправо: больше молекул с большими скоростями. Отсюда, среди прочего, рост скорости реакций и испарения с температурой.
Почему гистограмма зубчатая, а теория гладкая?: Гистограмма построена по конечной выборке. При малом числе частиц флуктуации велики. Теоретическая кривая — предел бесконечного ансамбля; рост выборки сглаживает столбцы (закон больших чисел).
Применимо ли распределение к реальным газам?: Хорошее приближение при низкой плотности и умеренных T, когда силами между молекулами можно пренебречь. Вблизи конденсации и при высокой плотности распределение может отклоняться. Предполагается тепловое равновесие, а не сильные градиенты или течения.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 46 в «Термодинамика».

Вся категория →

ПопулярноеШкольные