Warum ist ΔS = 2nR ln 2 und nicht null? Der Druck gleicht sich doch aus.

Der Entropiezuwachs kommt vom größeren zugänglichen Volumen, nicht vom Druckunterschied. Zuerst sitzt jedes Molekül in einer Hälfte des Gefäßes; nach der Mischung kann es irgendwo im ganzen Volumen sein, die Zahl der Mikrozustände wächst. Null ergäbe sich für identische Gase — das ist das Gibbs-Paradoxon.

Ist die Mischung reversibel? Kann man die Gase ohne Arbeit trennen?

Nein: die gezeigte Mischung ist irreversibel. Um die reinen Gase zurückzuholen, braucht man Arbeit (halbdurchlässige Wände, Trennung) und Wärmeabfuhr. Die Entropie des Systems nimmt nicht von selbst ab.

Ändert sich die Temperatur beim Mischen?

In diesem Modell ist T konstant: nur der Volumenbeitrag zur Entropie ist herausgegriffen. Bei idealen Gasen ändern sich bei freier Expansion innere Energie und Temperatur nicht. Bei realen Gasen ist ein kleiner Joule-Thomson-Effekt möglich.

Was ist das Gibbs-Paradoxon?

Mischt man formal zwei gleiche ideale Gase, liefert die klassische Formel trotzdem ΔS = 2nR ln 2, obwohl sich der Makrozustand nicht geändert hat. Die korrekte Berücksichtigung der Ununterscheidbarkeit der Teilchen beseitigt die überschüssige Entropie. Hier sind die Gase unterscheidbar, die Formel ist am Platz.

Gasmischung und Entropie

Zwei Gase getrennt, dann gemischt; ΔS = 2nR ln 2 bei gleichen Volumina und Stoffmengen.

Zum Modell

Gasmischung und Entropie: zwei verschiedene ideale Gase bei konstanter Temperatur — nach Entfernen der Trennwand nimmt jedes Gas das ganze Volumen ein, die Entropie steigt. Bei gleichen Stoffmengen und gleichen Anfangsvolumina gilt ΔS = 2nR ln 2, weil für jede Komponente ΔS_i = nR ln(V_end/V_anfang) = nR ln 2. Das Gefäß ist starr, der Vorgang isotherm; zwischenmolekulare Kräfte fehlen. Sind die Gase identisch, liefert die klassische Rechnung das Gibbs-Paradoxon — hier sind die Komponenten unterscheidbar. Die Mischung ist irreversibel: die Trennung erfordert Arbeit.

Für wen: Gymnasium (Jgst. 10–11) und Einführungs-Thermodynamik: Entropie, Irreversibilität, zweiter Hauptsatz.

Wichtige Begriffe

entropie
ideales gas
zweiter hauptsatz der thermodynamik
isothermer prozess
gibbs-paradoxon
irreversibler prozess
mischungsentropie

So funktioniert es

Die Mischung verschiedener idealer Gase bei konstantem T erhöht die Entropie, weil jede Sorte sich ins verdoppelte Volumen ausbreitet: ΔS = 2nR ln 2 bei gleichen n und V. Die Trennwand teilt das Gefäß; nach dem Entfernen nehmen die Komponenten 2V ein. Für identische Teilchen braucht man die quantenmechanische Behandlung des Gibbs-Paradoxons; hier der klassische Fall unterscheidbarer Gase.

Wichtige Gleichungen

ΔS = n_A R ln(V_f/V_i) + n_B R ln(V_f/V_i) · y_i = n_i / (n_A+n_B)

Häufige Fragen

Warum ist ΔS = 2nR ln 2 und nicht null? Der Druck gleicht sich doch aus.: Der Entropiezuwachs kommt vom größeren zugänglichen Volumen, nicht vom Druckunterschied. Zuerst sitzt jedes Molekül in einer Hälfte des Gefäßes; nach der Mischung kann es irgendwo im ganzen Volumen sein, die Zahl der Mikrozustände wächst. Null ergäbe sich für identische Gase — das ist das Gibbs-Paradoxon.
Ist die Mischung reversibel? Kann man die Gase ohne Arbeit trennen?: Nein: die gezeigte Mischung ist irreversibel. Um die reinen Gase zurückzuholen, braucht man Arbeit (halbdurchlässige Wände, Trennung) und Wärmeabfuhr. Die Entropie des Systems nimmt nicht von selbst ab.
Ändert sich die Temperatur beim Mischen?: In diesem Modell ist T konstant: nur der Volumenbeitrag zur Entropie ist herausgegriffen. Bei idealen Gasen ändern sich bei freier Expansion innere Energie und Temperatur nicht. Bei realen Gasen ist ein kleiner Joule-Thomson-Effekt möglich.
Was ist das Gibbs-Paradoxon?: Mischt man formal zwei gleiche ideale Gase, liefert die klassische Formel trotzdem ΔS = 2nR ln 2, obwohl sich der Makrozustand nicht geändert hat. Die korrekte Berücksichtigung der Ununterscheidbarkeit der Teilchen beseitigt die überschüssige Entropie. Hier sind die Gase unterscheidbar, die Formel ist am Platz.

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