Warum wird das Spektrum in der Grafik normiert?

B_λ ändert sich bei einem Wechsel von T um viele Größenordnungen. Die Normierung auf das Maximum im gezeigten λ-Bereich hält die Kurve auf dem Bildschirm und bewahrt Form und Wien-Marke.

Warum stimmt ∫πB_λ dλ in der Grafik nicht mit σT⁴ überein?

σT⁴ ist das Integral von πB_λ über alle Wellenlängen von null bis unendlich. Hier wird nur von 50 nm bis 3500 nm integriert, daher bleibt das Verhältnis unter 100 %, solange ein merklicher Leistungsanteil außerhalb dieses Fensters liegt.

Ist der Farbstreifen das, wie ein schwarzer Körper „aussieht“?

Eine grobe Mischung der sichtbaren Wellenlängen mit dem Gewicht B_λ bei der gewählten T. Sehen und der Farbumfang des Bildschirms sind komplizierter, aber die Tendenz stimmt: kälter — röter, heißer — weißer und blauer.

Schwarzer Körper: Planck-Spektrum

Spektrale Strahldichte B_λ(λ,T) nach Planck; Wiensches Verschiebungsgesetz λ_max ∝ 1/T; Stefan–Boltzmann-Gesetz M = σT⁴ und numerisches Integral ∫πB_λ dλ.

Diagramme

Zum Modell

Ein schwarzer Körper strahlt nach dem Planckschen Gesetz: die spektrale Strahldichte B_λ(T, λ) hängt nur von der Temperatur und der Wellenlänge ab. Das Wiensche Verschiebungsgesetz legt die Wellenlänge des Maximums fest: λ_max T ≈ 2,898×10⁻³ m·K. Das Stefan–Boltzmann-Gesetz gibt die gesamte spezifische Ausstrahlung M = σT⁴, σ ≈ 5,67×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. In der Grafik wird B_λ auf das Maximum in einem festen λ-Fenster normiert, damit sich die Form bei verschiedenen T vergleichen lässt; ein senkrechter Strich markiert das theoretische λ_max. Das Integral von πB_λ nach der Trapezregel über dasselbe Fenster wird mit σT⁴ verglichen — so sieht man, welcher Leistungsanteil in den gewählten Bereich fällt.

Für wen: Kurs zur Wärmestrahlung, Einführung in die Astrophysik (Sternfarben), technische Wärmeübertragung.

Wichtige Begriffe

Plancksches Gesetz
Wiensches Verschiebungsgesetz
Stefan–Boltzmann-Gesetz
spektrale Strahldichte
schwarzer Körper

So funktioniert es

Das Plancksche Gesetz gibt die spektrale Strahldichte B_λ eines schwarzen Körpers. Das Maximum von B_λ wandert mit wachsender T zu kurzen Wellen (Wiensches Gesetz). Das Integral über alle Wellenlängen liefert die gesamte spezifische Ausstrahlung M = σT⁴ (Stefan–Boltzmann-Gesetz). Die Kurve in der Grafik ist im gewählten λ-Fenster normiert; das numerische ∫πB_λ dλ von 50–3500 nm wird mit σT⁴ verglichen.

Wichtige Gleichungen

B_λ = (2hc²/λ⁵) / (e^{hc/(λkT)} − 1)

λ_max T ≈ 2.898×10⁻³ m·K · M = σT⁴

Häufige Fragen

Warum wird das Spektrum in der Grafik normiert?: B_λ ändert sich bei einem Wechsel von T um viele Größenordnungen. Die Normierung auf das Maximum im gezeigten λ-Bereich hält die Kurve auf dem Bildschirm und bewahrt Form und Wien-Marke.
Warum stimmt ∫πB_λ dλ in der Grafik nicht mit σT⁴ überein?: σT⁴ ist das Integral von πB_λ über alle Wellenlängen von null bis unendlich. Hier wird nur von 50 nm bis 3500 nm integriert, daher bleibt das Verhältnis unter 100 %, solange ein merklicher Leistungsanteil außerhalb dieses Fensters liegt.
Ist der Farbstreifen das, wie ein schwarzer Körper „aussieht“?: Eine grobe Mischung der sichtbaren Wellenlängen mit dem Gewicht B_λ bei der gewählten T. Sehen und der Farbumfang des Bildschirms sind komplizierter, aber die Tendenz stimmt: kälter — röter, heißer — weißer und blauer.

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