¿Para qué se normaliza el espectro en la gráfica?

B_λ cambia muchos órdenes de magnitud al cambiar T. Normalizar al máximo en el intervalo de λ mostrado mantiene la curva en pantalla y conserva la forma y la marca del pico de Wien.

¿Por qué ∫πB_λ dλ en la gráfica no coincide con σT⁴?

La magnitud σT⁴ es la integral de πB_λ sobre todas las longitudes de onda, de cero a infinito. Aquí la integral se toma solo de 50 nm a 3500 nm, así que la razón es menor que 100% mientras una fracción apreciable de la potencia quede fuera de esa ventana.

¿La franja de color es «cómo se ve» el cuerpo negro?

Es una mezcla tosca de las longitudes de onda visibles, ponderadas por B_λ a esa T. La visión y la gama de color de la pantalla son más complejas, pero la tendencia es correcta: más frío, más rojo; más caliente, más blanco y más azul.

Cuerpo negro: espectro de Planck

Radiancia espectral B_λ(λ,T) según Planck; ley del desplazamiento de Wien λ_max ∝ 1/T; ley de Stefan–Boltzmann M = σT⁴ e integral numérica ∫πB_λ dλ.

Gráficas

Sobre el modelo

El cuerpo negro irradia según la ley de Planck: la radiancia espectral B_λ(T, λ) depende solo de la temperatura y de la longitud de onda. La ley del desplazamiento de Wien fija la longitud de onda del máximo: λ_max T ≈ 2,898×10⁻³ m·K. La ley de Stefan–Boltzmann da el flujo total M = σT⁴, σ ≈ 5,67×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. En la gráfica, B_λ se normaliza al máximo en una ventana fija de λ para comparar la forma a distintas T; un segmento vertical marca el λ_max teórico. La integral de πB_λ por el método de los trapecios en la misma ventana se compara con σT⁴: se ve qué fracción de la potencia cae en el intervalo elegido.

Para quién: Curso de radiación térmica, astrofísica introductoria (color de las estrellas), transferencia de calor en ingeniería.

Conceptos clave

ley de Planck
ley del desplazamiento de Wien
ley de Stefan–Boltzmann
radiancia espectral
cuerpo negro

Cómo funciona

La ley de Planck da la radiancia espectral B_λ del cuerpo negro. Al subir T, el máximo de B_λ se desplaza hacia ondas más cortas (ley de Wien). La integral sobre todas las longitudes de onda da el flujo total M = σT⁴ (ley de Stefan–Boltzmann). Aquí la curva de la gráfica está normalizada en la ventana de λ elegida; el ∫πB_λ dλ numérico entre 50 y 3500 nm se compara con σT⁴.

Fórmulas principales

B_λ = (2hc²/λ⁵) / (e^{hc/(λkT)} − 1)

λ_max T ≈ 2,898×10⁻³ m·K · M = σT⁴

Preguntas frecuentes

¿Para qué se normaliza el espectro en la gráfica?: B_λ cambia muchos órdenes de magnitud al cambiar T. Normalizar al máximo en el intervalo de λ mostrado mantiene la curva en pantalla y conserva la forma y la marca del pico de Wien.
¿Por qué ∫πB_λ dλ en la gráfica no coincide con σT⁴?: La magnitud σT⁴ es la integral de πB_λ sobre todas las longitudes de onda, de cero a infinito. Aquí la integral se toma solo de 50 nm a 3500 nm, así que la razón es menor que 100% mientras una fracción apreciable de la potencia quede fuera de esa ventana.
¿La franja de color es «cómo se ve» el cuerpo negro?: Es una mezcla tosca de las longitudes de onda visibles, ponderadas por B_λ a esa T. La visión y la gama de color de la pantalla son más complejas, pero la tendencia es correcta: más frío, más rojo; más caliente, más blanco y más azul.

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