Pourquoi normaliser le spectre sur le graphe ?

B_λ varie de plusieurs ordres de grandeur quand T change. La normalisation au maximum dans le domaine de λ affiché garde la courbe à l’écran, tout en conservant la forme et le repère du pic de Wien.

Pourquoi ∫πB_λ dλ sur le graphe ne coïncide-t-il pas avec σT⁴ ?

La grandeur σT⁴ est l’intégrale de πB_λ sur toutes les longueurs d’onde, de zéro à l’infini. Ici l’intégrale n’est prise que de 50 nm à 3500 nm : le rapport reste inférieur à 100 % tant qu’une part notable de la puissance est hors de cette fenêtre.

La bande colorée, est-ce ainsi que « paraît » un corps noir ?

C’est un mélange grossier des longueurs d’onde visibles, pondérées par B_λ à la T donnée. La vision et la gamme du récepteur sont plus complexes, mais la tendance est juste : plus c’est froid, plus c’est rouge ; plus c’est chaud, plus c’est blanc puis bleu.

Corps noir : spectre de Planck

Luminance énergétique spectrale B_λ(λ,T) selon Planck ; loi du déplacement de Wien λ_max ∝ 1/T ; loi de Stefan–Boltzmann M = σT⁴ et intégrale numérique ∫πB_λ dλ.

Graphiques

À propos du modèle

Le corps noir rayonne selon la loi de Planck : la luminance énergétique spectrale B_λ(T, λ) ne dépend que de la température et de la longueur d’onde. La loi du déplacement de Wien fixe la longueur d’onde du maximum : λ_max T ≈ 2,898×10⁻³ m·K. La loi de Stefan–Boltzmann donne l’exitance énergétique M = σT⁴, avec σ ≈ 5,67×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. Sur le graphe, B_λ est normalisée au maximum dans une fenêtre fixe en λ, afin de comparer la forme à différentes T ; un segment vertical marque le λ_max théorique. L’intégrale de πB_λ par la méthode des trapèzes, sur la même fenêtre, est comparée à σT⁴ : on voit quelle part de la puissance tombe dans le domaine choisi.

Public : Rayonnement thermique, introduction à l’astrophysique (couleur des étoiles), transferts thermiques.

Notions clés

loi de Planck
loi du déplacement de Wien
loi de Stefan–Boltzmann
luminance énergétique spectrale
corps noir

Comment ça marche

La loi de Planck donne la luminance énergétique spectrale B_λ du corps noir. Quand T augmente, le maximum de B_λ se déplace vers les courtes longueurs d’onde (loi de Wien). L’intégrale sur toutes les longueurs d’onde donne l’exitance M = σT⁴ (loi de Stefan–Boltzmann). Ici la courbe est normalisée dans la fenêtre de λ choisie ; l’intégrale numérique ∫πB_λ dλ entre 50 et 3500 nm est comparée à σT⁴.

Formules

B_λ = (2hc²/λ⁵) / (e^{hc/(λkT)} − 1)

λ_max T ≈ 2.898×10⁻³ m·K · M = σT⁴

Questions fréquentes

Pourquoi normaliser le spectre sur le graphe ?: B_λ varie de plusieurs ordres de grandeur quand T change. La normalisation au maximum dans le domaine de λ affiché garde la courbe à l’écran, tout en conservant la forme et le repère du pic de Wien.
Pourquoi ∫πB_λ dλ sur le graphe ne coïncide-t-il pas avec σT⁴ ?: La grandeur σT⁴ est l’intégrale de πB_λ sur toutes les longueurs d’onde, de zéro à l’infini. Ici l’intégrale n’est prise que de 50 nm à 3500 nm : le rapport reste inférieur à 100 % tant qu’une part notable de la puissance est hors de cette fenêtre.
La bande colorée, est-ce ainsi que « paraît » un corps noir ?: C’est un mélange grossier des longueurs d’onde visibles, pondérées par B_λ à la T donnée. La vision et la gamme du récepteur sont plus complexes, mais la tendance est juste : plus c’est froid, plus c’est rouge ; plus c’est chaud, plus c’est blanc puis bleu.

Poursuivez avec des thèmes proches de cette catégorie — ou les 46 de «Thermodynamique».

Toute la catégorie →

Collège–lycée