Зачем нормировать спектр на графике?

B_λ меняется на многие порядки при смене T. Нормировка на максимум в показанном диапазоне λ удерживает кривую на экране, сохраняя форму и отметку пика Вина.

Почему ∫πB_λ dλ на графике не совпадает с σT⁴?

Величина σT⁴ равна интегралу πB_λ по всем длинам волны от нуля до бесконечности. Здесь интеграл берут только от 50 нм до 3500 нм, поэтому отношение меньше 100%, пока заметная доля мощности лежит вне этого окна.

Цветная полоса — это то, как «выглядит» чёрное тело?

Грубая смесь видимых длин волн с весом B_λ при данной T. Зрение и цветовой охват дисплея сложнее, но тенденция верна: холоднее — краснее, горячее — белее и синее.

Абсолютно чёрное тело: спектр Планка

Спектральная яркость B_λ(λ,T) по Планку; закон смещения Вина λ_max ∝ 1/T; закон Стефана–Больцмана M = σT⁴ и численный интеграл ∫πB_λ dλ.

Температура

T5778 K

Пресеты

Закон Планка B_λ(T): λ_max по закону Вина (λ_max T ≈ 2,898×10⁻³ м·К; здесь λ в нм). M = σT⁴, σ ≈ 5,67×10⁻⁸ Вт·м⁻²·К⁻⁴. График: λ = 50–3500 нм, B_λ нормирован на 1 в этом окне. Голубой отрезок — λ_max, если он внутри окна; иначе маркер у края (истинный λ_max в таблице справа).

Измеренные величины

λ_max (Вин)501.5nm

M = σT⁴63.201MW/m²

∫πB_λ dλ (50–3500 нм)62.315MW/m²

∫ по окну / σT⁴98.6%

B_λ в максимуме окна (СИ)2.636e+13W·sr⁻¹·m⁻³

Графики

О модели

Абсолютно чёрное тело излучает по закону Планка: спектральная яркость B_λ(T, λ) зависит только от температуры и длины волны. Закон смещения Вина задаёт длину волны максимума: λ_max T ≈ 2,898×10⁻³ м·К. Закон Стефана–Больцмана даёт полный поток M = σT⁴, σ ≈ 5,67×10⁻⁸ Вт·м⁻²·К⁻⁴. На графике B_λ нормируют на максимум в фиксированном окне по λ, чтобы сравнивать форму при разных T; вертикальный отрезок отмечает теоретический λ_max. Интеграл πB_λ методом трапеций на том же окне сравнивается с σT⁴ — видно, какая доля мощности попадает в выбранный диапазон.

Для кого: Курс теплового излучения, вводная астрофизика (цвет звёзд), инженерная теплопередача.

Ключевые понятия

закон Планка
закон смещения Вина
закон Стефана–Больцмана
спектральная яркость
абсолютно чёрное тело

Как это работает

Закон Планка задаёт спектральную яркость B_λ абсолютно чёрного тела. Максимум B_λ с ростом T смещается к коротким волнам (закон Вина). Интеграл по всем длинам волны даёт полный поток M = σT⁴ (закон Стефана–Больцмана). Здесь кривая на графике нормирована в выбранном окне по λ; численное ∫πB_λ dλ на 50–3500 нм сравнивается с σT⁴.

Основные формулы

B_λ = (2hc²/λ⁵) / (e^{hc/(λkT)} − 1)

λ_max T ≈ 2,898×10⁻³ м·К · M = σT⁴

Часто задаваемые вопросы

Зачем нормировать спектр на графике?: B_λ меняется на многие порядки при смене T. Нормировка на максимум в показанном диапазоне λ удерживает кривую на экране, сохраняя форму и отметку пика Вина.
Почему ∫πB_λ dλ на графике не совпадает с σT⁴?: Величина σT⁴ равна интегралу πB_λ по всем длинам волны от нуля до бесконечности. Здесь интеграл берут только от 50 нм до 3500 нм, поэтому отношение меньше 100%, пока заметная доля мощности лежит вне этого окна.
Цветная полоса — это то, как «выглядит» чёрное тело?: Грубая смесь видимых длин волн с весом B_λ при данной T. Зрение и цветовой охват дисплея сложнее, но тенденция верна: холоднее — краснее, горячее — белее и синее.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 46 в «Термодинамика».

Вся категория →

Школьные