Por que normalizar o espectro no gráfico?

B_λ muda muitas ordens de grandeza ao mudar T. Normalizar pelo máximo no intervalo de λ mostrado mantém a curva na tela e conserva a forma e a marca do pico de Wien.

Por que ∫πB_λ dλ no gráfico não coincide com σT⁴?

A grandeza σT⁴ é a integral de πB_λ em todos os comprimentos de onda, de zero a infinito. Aqui a integral vai só de 50 nm a 3500 nm, então a razão fica abaixo de 100% enquanto uma fração apreciável da potência estiver fora dessa janela.

A faixa colorida é «como se vê» o corpo negro?

É uma mistura tosca dos comprimentos de onda visíveis, ponderados por B_λ àquela T. A visão e a gama de cores da tela são mais complexas, mas a tendência vale: mais frio, mais vermelho; mais quente, mais branco e mais azul.

Corpo negro: espectro de Planck

Radiância espectral B_λ(λ,T) segundo Planck; lei do deslocamento de Wien λ_max ∝ 1/T; lei de Stefan–Boltzmann M = σT⁴ e integral numérica ∫πB_λ dλ.

Gráficos

Sobre o modelo

O corpo negro emite segundo a lei de Planck: a radiância espectral B_λ(T, λ) depende só da temperatura e do comprimento de onda. A lei do deslocamento de Wien fixa o comprimento de onda do máximo: λ_max T ≈ 2,898×10⁻³ m·K. A lei de Stefan–Boltzmann dá o fluxo total M = σT⁴, σ ≈ 5,67×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. No gráfico, B_λ se normaliza pelo máximo numa janela fixa de λ, para comparar a forma em T diferentes; um segmento vertical marca o λ_max teórico. A integral de πB_λ pelo método dos trapézios na mesma janela se compara com σT⁴ — vê-se que fração da potência cai no intervalo escolhido.

Para quem: Curso de radiação térmica, astrofísica introdutória (cor das estrelas), transferência de calor na engenharia.

Conceitos-chave

lei de Planck
lei do deslocamento de Wien
lei de Stefan–Boltzmann
radiância espectral
corpo negro

Como funciona

A lei de Planck dá a radiância espectral B_λ do corpo negro. O máximo de B_λ, ao subir T, desloca-se para ondas mais curtas (lei de Wien). A integral em todos os comprimentos de onda dá o fluxo total M = σT⁴ (lei de Stefan–Boltzmann). Aqui a curva do gráfico está normalizada na janela de λ escolhida; o ∫πB_λ dλ numérico entre 50 e 3500 nm se compara com σT⁴.

Fórmulas principais

B_λ = (2hc²/λ⁵) / (e^{hc/(λkT)} − 1)

λ_max T ≈ 2,898×10⁻³ m·K · M = σT⁴

Perguntas frequentes

Por que normalizar o espectro no gráfico?: B_λ muda muitas ordens de grandeza ao mudar T. Normalizar pelo máximo no intervalo de λ mostrado mantém a curva na tela e conserva a forma e a marca do pico de Wien.
Por que ∫πB_λ dλ no gráfico não coincide com σT⁴?: A grandeza σT⁴ é a integral de πB_λ em todos os comprimentos de onda, de zero a infinito. Aqui a integral vai só de 50 nm a 3500 nm, então a razão fica abaixo de 100% enquanto uma fração apreciável da potência estiver fora dessa janela.
A faixa colorida é «como se vê» o corpo negro?: É uma mistura tosca dos comprimentos de onda visíveis, ponderados por B_λ àquela T. A visão e a gama de cores da tela são mais complexas, mas a tendência vale: mais frio, mais vermelho; mais quente, mais branco e mais azul.

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