¿Por qué el número de la casilla es igual al número de rebotes a la derecha?

Cada rebote mueve la bola medio ancho de casilla a la izquierda o a la derecha. Tras n rebotes, k a la derecha y n − k a la izquierda, el desplazamiento neto es (k − (n − k))/2 = k − n/2 anchos de casilla desde el centro. Numerar la casilla más a la izquierda como 0 (todos los rebotes a la izquierda) convierte ese desplazamiento en el índice de casilla k. Así, la casilla en la que cae una bola es solo un recuento de éxitos en n ensayos independientes, que es justo la definición de una variable aleatoria binomial.

¿Por qué el montón abulta en el centro y no queda plano?

Solo hay un camino hasta la casilla del extremo izquierdo (izquierda, izquierda, izquierda, …), pero muchos hasta las casillas centrales: el número de caminos hasta la casilla k es el coeficiente binomial C(n, k), máximo cerca de k = n/2. Con un tablero equilibrado (p = 0,5) cada camino es igual de probable, así que las probabilidades de las casillas son proporcionales a C(n, k): el triángulo de Pascal. Con un tablero sesgado los caminos ya no son igual de probables y la casilla más probable se desplaza hacia np.

¿Cuántas filas hacen falta para que encaje la curva normal?

La binomial se acerca a N(np, np(1 − p)) cuando np y n(1 − p) son razonablemente grandes; una regla habitual pide que ambos valgan al menos entre 5 y 10. Con p = 0,5 doce filas ya ajustan bien, mientras que con p = 0,1 hacen falta muchas filas porque la distribución queda apretada contra la casilla 0 y sigue visiblemente sesgada. El simulador permite probarlo directamente: elija p = 0,2 con 4 filas y luego con 20, y compare la curva rosa con las marcas amarillas.

¿Por qué la desviación estándar medida no crece en proporción al número de filas?

Cada rebote añade un paso independiente cuya varianza es p(1 − p). Las varianzas de pasos independientes se suman, así que tras n filas la varianza es np(1 − p) y la desviación estándar es √(np(1 − p)). Duplicar las filas multiplica, por tanto, la dispersión solo por √2 ≈ 1,41, y no por 2. Respecto del ancho total del tablero (n + 1 casillas), el montón se vuelve de hecho más estrecho al crecer n, y esa es una forma de ver la ley de los grandes números.

Tablero de Galton (máquina de bolas)

Las bolas rebotan a izquierda o derecha entre filas de clavos; las casillas llenan una binomial que se vuelve una campana. Pocas filas frente a muchas.

Tablero

Filas de clavos n12

Probabilidad de rebotar a la derecha p0.5

Ritmo de bolas (flujo)20 bolas/s

Superposiciones

Esperanza binomial B(filas, p)Aproximación normal N(np, np(1−p))

Cada bola es una sucesión independiente de n ensayos de Bernoulli: en cada clavo se mueve a la derecha con probabilidad p, así que su índice de casilla es el número de rebotes a la derecha y sigue B(n, p) exactamente. Se animan como mucho 150 bolas a la vez; el resto cae directo a las casillas desde el mismo flujo aleatorio con semilla. Las dos superposiciones se escalan al número de bolas que ya están en las casillas. Cambiar n o p vacía el tablero; Reiniciar también cambia la semilla del generador.

Atajos de teclado

Space / Enter — soltar 100 bolas
P — flujo en marcha / pausa
R — reiniciar (semilla nueva)

Magnitudes medidas

Bolas en casillas N0

Bolas en vuelo0

Filas n12

p (derecha)0.50

Media esperada np6.00

DE esperada √(np(1−p))1.732

Media empírica del índice de casilla—

DE empírica del índice de casilla—

Fracción en la casilla más llena—

Sobre el modelo

El simulador modela la máquina de bolas de Galton (quincunce): una bola soltada en lo alto de un arreglo triangular de n filas de clavos encuentra exactamente un clavo por fila y se desvía medio paso a la derecha con probabilidad p o a la izquierda con probabilidad 1 − p. Las desviaciones son independientes entre sí y de todo lo anterior, así que el camino de una bola es una sucesión de n ensayos de Bernoulli. Si k de los n rebotes van a la derecha, la bola acaba k medios pasos a la derecha de los n − k rebotes a la izquierda, es decir, en la casilla número k contada desde la izquierda, con k = 0, 1, …, n. El número de bolas en la casilla k sigue, por tanto, una distribución binomial: con N bolas el recuento esperado es N · C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, el índice medio de casilla es np y su desviación estándar es √(np(1 − p)). Las marcas amarillas dibujan exactamente esa esperanza, calculada con logaritmos de factoriales; la curva rosa es la densidad normal N(np, np(1 − p)) multiplicada por N (ancho de casilla 1), que es la aproximación de De Moivre–Laplace de la binomial. Las dos superposiciones se reescalan al número de bolas que hay en ese momento en las casillas, para que la comparación con el histograma sea justa en todo momento. Los indicadores dan la media muestral y la desviación estándar (poblacional) de los índices de las casillas en las que cayeron las bolas, junto a los teóricos np y √(np(1 − p)), y la fracción de bolas en la casilla más llena, que se reduce hacia la mayor probabilidad binomial al crecer n. Simplificaciones: las bolas no chocan entre sí, la forma de los clavos y el tamaño de la bola no influyen, cada rebote es una moneda ideal con sesgo y la animación muestra como mucho 150 bolas, mientras el resto se añade a las casillas al instante; todas las decisiones aleatorias salen de un único generador con semilla, así que una corrida se puede repetir tras Reiniciar dentro de la sesión. Con p ≠ 0,5 se ve cómo un tablero sesgado inclina el montón y cómo empeora la aproximación normal cuando np o n(1 − p) es pequeño. Simuladores relacionados: statistics/binomial-distribution para la función de masa por sí sola, statistics/normal-distribution para la campana y las puntuaciones z, statistics/central-limit-theorem para sumas de muchos pasos independientes en general y statistics/law-of-large-numbers para cómo la media empírica se asienta en np.

Para quién: De la secundaria al primer curso universitario de estadística y probabilidad (a partir de los 13 años), como primer encuentro visual con la distribución binomial y su límite normal.

Conceptos clave

ensayo de Bernoulli
distribución binomial
valor esperado np
desviación estándar √(np(1−p))
aproximación normal
teorema de De Moivre–Laplace
independencia
histograma

Cómo funciona

Una bola soltada en un tablero de Galton encuentra un clavo por fila y rebota a la derecha con probabilidad p o a la izquierda con probabilidad 1 − p, de forma independiente en cada clavo. Tras n filas la bola cae en la casilla k, donde k es simplemente el número de rebotes a la derecha, así que los recuentos de las casillas siguen la distribución binomial B(n, p) de media np y desviación estándar √(np(1 − p)). Con muchas filas la escalera de casillas queda bien descrita por la curva normal N(np, np(1 − p)): una imagen concreta del teorema de De Moivre–Laplace. La simulación ignora los choques entre bolas y la geometría de los clavos: cada rebote es el lanzamiento ideal de una moneda, sacado de un generador aleatorio con semilla.

Fórmulas principales

P(K = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, k = número de rebotes a la derecha = índice de casilla

E[K] = n p, DE(K) = √(n p (1 − p))

n grande: recuento esperado en la casilla k ≈ N · φ((k − np)/σ) / σ, σ = √(np(1 − p))

Preguntas frecuentes

¿Por qué el número de la casilla es igual al número de rebotes a la derecha?: Cada rebote mueve la bola medio ancho de casilla a la izquierda o a la derecha. Tras n rebotes, k a la derecha y n − k a la izquierda, el desplazamiento neto es (k − (n − k))/2 = k − n/2 anchos de casilla desde el centro. Numerar la casilla más a la izquierda como 0 (todos los rebotes a la izquierda) convierte ese desplazamiento en el índice de casilla k. Así, la casilla en la que cae una bola es solo un recuento de éxitos en n ensayos independientes, que es justo la definición de una variable aleatoria binomial.
¿Por qué el montón abulta en el centro y no queda plano?: Solo hay un camino hasta la casilla del extremo izquierdo (izquierda, izquierda, izquierda, …), pero muchos hasta las casillas centrales: el número de caminos hasta la casilla k es el coeficiente binomial C(n, k), máximo cerca de k = n/2. Con un tablero equilibrado (p = 0,5) cada camino es igual de probable, así que las probabilidades de las casillas son proporcionales a C(n, k): el triángulo de Pascal. Con un tablero sesgado los caminos ya no son igual de probables y la casilla más probable se desplaza hacia np.
¿Cuántas filas hacen falta para que encaje la curva normal?: La binomial se acerca a N(np, np(1 − p)) cuando np y n(1 − p) son razonablemente grandes; una regla habitual pide que ambos valgan al menos entre 5 y 10. Con p = 0,5 doce filas ya ajustan bien, mientras que con p = 0,1 hacen falta muchas filas porque la distribución queda apretada contra la casilla 0 y sigue visiblemente sesgada. El simulador permite probarlo directamente: elija p = 0,2 con 4 filas y luego con 20, y compare la curva rosa con las marcas amarillas.
¿Por qué la desviación estándar medida no crece en proporción al número de filas?: Cada rebote añade un paso independiente cuya varianza es p(1 − p). Las varianzas de pasos independientes se suman, así que tras n filas la varianza es np(1 − p) y la desviación estándar es √(np(1 − p)). Duplicar las filas multiplica, por tanto, la dispersión solo por √2 ≈ 1,41, y no por 2. Respecto del ancho total del tablero (n + 1 casillas), el montón se vuelve de hecho más estrecho al crecer n, y esa es una forma de ver la ley de los grandes números.

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Elige una distribución de origen (uniforme, exponencial, binomial, dado) y extrae muestras de tamaño n = 1, 5, 30; el histograma de las medias se vuelve normal y su dispersión se reduce como σ/√n.

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Barras de P(K = k) para n ensayos con probabilidad de éxito p; media np, varianza np(1−p); preajustes de moneda y de suceso raro; normal superpuesta cuando n es grande.

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