Warum schwingt eine größere Masse langsamer?

Die Schwingungsdauer T = 2π√(m/k) wächst mit der Wurzel aus der Masse. Die Trägheit ist größer, die Federkraft bei gleicher Auslenkung dieselbe — die Beschleunigung kleiner, der Umlauf länger.

Worin unterscheidet sich die Kreisfrequenz ω von der gewöhnlichen Frequenz f?

ω (rad/s) beschreibt, wie schnell sich die Phase ändert, f die Zahl voller Schwingungen pro Sekunde. Es gilt ω = 2πf. Beim Federpendel ist ω = √(k/m), f = (1/(2π))√(k/m).

Gilt das Modell auch für eine senkrechte Feder?

Ja. Die Gewichtskraft verschiebt nur die Gleichgewichtslage nach unten. Relativ zur neuen Ruhelage ist die Kraft wieder −kx, und die Schwingungsdauer bleibt T = 2π√(m/k).

Was ist kritische Dämpfung?

Die Dämpfung, bei der das System am schnellsten und ohne Nachschwingen ins Gleichgewicht zurückkehrt. Kleiner — es schwingt noch (schwache Dämpfung), größer — es kriecht langsamer gegen null (starke Dämpfung). So stellt man Stoßdämpfer und Türschließer ein.

Federpendel

Harmonische Schwingung einer Masse an der Feder: Federkonstante k und Dämpfung. Schwingungsdauer T = 2π√(m/k).

Diagramme

Zum Modell

Federpendel: eine Masse an einer waagerechten Feder gleitet ohne Reibung — das schulische Grundmodell der harmonischen Schwingung. Die Bewegung folgt aus dem Hookeschen Gesetz und dem zweiten Newtonschen Gesetz. Die Rückstellkraft der Feder ist F = −kx, daher mẍ = −kx. Die Lösung lautet x(t) = A cos(ωt + φ) mit ω = √(k/m) und der Schwingungsdauer T = 2π√(m/k). Die Dämpfungskraft −bv führt zur schwachen, kritischen und starken Dämpfung. Die Feder ist masselos und linear, die Masse punktförmig; ohne Dämpfung ist die Unterlage reibungsfrei.

Für wen: Gymnasium und erstes Semester: Federpendel, Hookesches Gesetz, Schwingungsdauer T = 2π√(m/k), Dämpfung.

Wichtige Begriffe

Federpendel
Hookesches Gesetz
harmonische Schwingung
Schwingungsdauer
Federkonstante
Dämpfung
Amplitude
Kreisfrequenz

So funktioniert es

Eine Masse auf einer reibungsfreien waagerechten Fläche ist mit einer idealen Feder verbunden: mẍ + cẋ + kx = 0. Ohne Dämpfung wandert die Energie zwischen kinetischer und potentieller ½kx²; bei schwacher Dämpfung nimmt die Amplitude ab. Auf dem Bildschirm: Auslenkung, Geschwindigkeit und Energieleiste.

Wichtige Gleichungen

mẍ + cẋ + kx = 0

ω₀ = √(k/m), E_pot = ½kx²

Schwache Dämpfung: ω_d = √(ω₀² − (c/2m)²), T = 2π/ω_d. Ohne Dämpfung — Velocity-Verlet für besseres Energieverhalten.

Häufige Fragen

Warum schwingt eine größere Masse langsamer?: Die Schwingungsdauer T = 2π√(m/k) wächst mit der Wurzel aus der Masse. Die Trägheit ist größer, die Federkraft bei gleicher Auslenkung dieselbe — die Beschleunigung kleiner, der Umlauf länger.
Worin unterscheidet sich die Kreisfrequenz ω von der gewöhnlichen Frequenz f?: ω (rad/s) beschreibt, wie schnell sich die Phase ändert, f die Zahl voller Schwingungen pro Sekunde. Es gilt ω = 2πf. Beim Federpendel ist ω = √(k/m), f = (1/(2π))√(k/m).
Gilt das Modell auch für eine senkrechte Feder?: Ja. Die Gewichtskraft verschiebt nur die Gleichgewichtslage nach unten. Relativ zur neuen Ruhelage ist die Kraft wieder −kx, und die Schwingungsdauer bleibt T = 2π√(m/k).
Was ist kritische Dämpfung?: Die Dämpfung, bei der das System am schnellsten und ohne Nachschwingen ins Gleichgewicht zurückkehrt. Kleiner — es schwingt noch (schwache Dämpfung), größer — es kriecht langsamer gegen null (starke Dämpfung). So stellt man Stoßdämpfer und Türschließer ein.

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