Warum ändert sich die Schwingungsdauer, wenn man den Aufhängepunkt verschiebt?

In T = 2π √(I /(mgd)) stehen sowohl d als auch das Trägheitsmoment bezüglich der Achse. Nach dem Steinerschen Satz hängt I selbst von d ab. Nahe am Ende ist T groß, durchläuft dann ein Minimum und wächst wieder, wenn die Achse dem Schwerpunkt näher kommt.

Was ist die reduzierte Länge L_eq?

L_eq = I/(md) ist die Länge des mathematischen Pendels mit derselben Schwingungsdauer. Beim physikalischen Pendel ist sie stets größer als der Abstand von der Achse zum Schwerpunkt.

Gilt die Formel für T auch bei großen Winkeln?

Die abgeleitete T = 2π √(I /(mgd)) stützt sich auf sin δ ≈ δ. Bei großen Amplituden ist das rücktreibende Drehmoment nicht mehr proportional zum Winkel, die Schwingung ist nicht harmonisch, T wächst. Diese Korrektur steckt im Kernmodell nicht.

Wo hängt man den Stab auf, damit T minimal wird?

Beim homogenen Stab liegt das Minimum bei d = L/√12 ≈ 0,289 L vom Schwerpunkt (etwa 0,211 L vom Ende). Dort ist das Verhältnis I/(md) am kleinsten.

Physikalisches Pendel (Stab)

Dünner homogener Stab: Aufhängepunkt längs L, I und T(δ), reduzierte Länge L_eq.

Diagramme

Zum Modell

Physikalisches Pendel: ein ausgedehnter starrer Körper, der sich frei um eine feste waagerechte Achse dreht (im Gegensatz zum mathematischen Pendel — einer Punktmasse an einem masselosen Faden). Hier ein dünner homogener Stab der Länge L und Masse m; der Aufhängepunkt liegt im Abstand d vom Ende. Das Drehmoment der Gewichtskraft und τ = Iα ergeben bei kleinen Winkeln eine harmonische Schwingung mit T = 2π √(I /(mgd)). Für den Stab gilt I_S = (1/12)mL², Steinerscher Satz: I = I_S + md². Die reduzierte Länge L_eq = I/(md) ist die Länge des mathematischen Pendels mit derselben Schwingungsdauer. Verschiebt man den Aufhängepunkt, sieht man ein Minimum von T und zwei verschiedene d mit gleicher Schwingungsdauer. Die Achse ist reibungsfrei, Luftwiderstand fehlt; die Formel für T gilt für kleine Winkel.

Für wen: Leistungskurs und erstes Semester: Trägheitsmoment, Steinerscher Satz, Schwingungsdauer des physikalischen Pendels.

Wichtige Begriffe

physikalisches Pendel
mathematisches Pendel
Trägheitsmoment
Steinerscher Satz
reduzierte Länge
Schwingungsdauer
harmonische Schwingung
Näherung für kleine Winkel

So funktioniert es

Ein starrer homogener Stab dreht sich um einen Punkt auf seiner Länge. Der Steinersche Satz liefert I = mL²/12 + mδ² bezüglich des Aufhängepunkts, wobei δ der Abstand von dort zum Schwerpunkt ist. Kleine Schwingungen um die lotrechte Lage entsprechen einem mathematischen Pendel der reduzierten Länge L_eq = I/(mδ), daher T ≈ 2π√(L_eq/g). Rückt die Achse näher an den Schwerpunkt (kleineres δ), sinkt das rücktreibende Drehmoment und T wächst; Aufhängung am Ende (δ = L/2) ergibt die klassische Formel T = 2π√(2L/(3g)).

Wichtige Gleichungen

I = mL²/12 + mδ² · ω₀² = mgδ / I · L_eq = I/(mδ)

Achse am Ende: δ = L/2 → T = 2π√(2L/(3g))

Häufige Fragen

Warum ändert sich die Schwingungsdauer, wenn man den Aufhängepunkt verschiebt?: In T = 2π √(I /(mgd)) stehen sowohl d als auch das Trägheitsmoment bezüglich der Achse. Nach dem Steinerschen Satz hängt I selbst von d ab. Nahe am Ende ist T groß, durchläuft dann ein Minimum und wächst wieder, wenn die Achse dem Schwerpunkt näher kommt.
Was ist die reduzierte Länge L_eq?: L_eq = I/(md) ist die Länge des mathematischen Pendels mit derselben Schwingungsdauer. Beim physikalischen Pendel ist sie stets größer als der Abstand von der Achse zum Schwerpunkt.
Gilt die Formel für T auch bei großen Winkeln?: Die abgeleitete T = 2π √(I /(mgd)) stützt sich auf sin δ ≈ δ. Bei großen Amplituden ist das rücktreibende Drehmoment nicht mehr proportional zum Winkel, die Schwingung ist nicht harmonisch, T wächst. Diese Korrektur steckt im Kernmodell nicht.
Wo hängt man den Stab auf, damit T minimal wird?: Beim homogenen Stab liegt das Minimum bei d = L/√12 ≈ 0,289 L vom Schwerpunkt (etwa 0,211 L vom Ende). Dort ist das Verhältnis I/(md) am kleinsten.

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