Warum hängt die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels vor allem von der Länge ab, nicht von der Masse?

Im Idealmodell kürzt sich die Masse in der Bewegungsgleichung heraus. Gewichtskraft und Trägheit wachsen proportional zur Masse; bei kleinen Winkeln bestimmen daher vor allem Fadenlänge und Erdbeschleunigung die Schwingungsdauer: T ≈ 2π√(L/g).

Wann gilt die Formel für kleine Winkel nicht mehr?

Sie wird bei großen Amplituden merklich ungenauer, sobald die Näherung sin θ ≈ θ nicht mehr trägt. Die Schwingungsdauer liegt dann etwas über der harmonischen Näherung; das sieht man hier.

Was bewirkt die Dämpfung in diesem Modell?

Die Dämpfung entzieht dem Pendel mechanische Energie, daher nimmt die Amplitude mit der Zeit ab. In realen Aufbauten tun das Luftwiderstand, Reibung im Aufhängepunkt und innere Verluste im Material.

Mathematisches Pendel

Schwingungsdauer kleiner Auslenkungen T = 2π√(L/g). Länge, Masse und g ändern; Dämpfung beobachten.

Diagramme

Zum Modell

Mathematisches Pendel: eine Punktmasse an einem undehnbaren Faden der Länge L, Erdbeschleunigung g und Dämpfungskonstante. Vergleichen Sie die harmonische Schwingung bei kleinen Winkeln (T ≈ 2π√(L/g)) mit großen Amplituden, bei denen die Schwingungsdauer vom Auslenkwinkel abhängt.

Für wen: Schulphysik und Praktikum: Schwingungsdauer, Bestimmung von g, kleine Winkel.

Wichtige Begriffe

mathematisches Pendel
Schwingungsdauer
kleine Winkel
Erdbeschleunigung
Dämpfung

So funktioniert es

Das mathematische Pendel gehorcht der nichtlinearen Gleichung θ¨ + (g/L)sinθ = 0. Bei kleinen Winkeln gilt sinθ ≈ θ, und die Bewegung ist harmonisch mit T ≈ 2π√(L/g). Bei großen Winkeln wächst die Schwingungsdauer. Dämpfung zerstreut die Energie mit der Zeit.

Wichtige Gleichungen

Bewegungsgleichung:θ¨ + (g/L) sin θ = 0

Schwingungsdauer bei kleinen Winkeln:T₀ = 2π√(L/g)

Bei großen Amplituden wächst die Schwingungsdauer; in der Seitenleiste gilt T ≈ T₀(1 + θ₀²/16 + 11θ₀⁴/3072), θ₀ in rad (ohne Dämpfung).

Häufige Fragen

Warum hängt die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels vor allem von der Länge ab, nicht von der Masse?: Im Idealmodell kürzt sich die Masse in der Bewegungsgleichung heraus. Gewichtskraft und Trägheit wachsen proportional zur Masse; bei kleinen Winkeln bestimmen daher vor allem Fadenlänge und Erdbeschleunigung die Schwingungsdauer: T ≈ 2π√(L/g).
Wann gilt die Formel für kleine Winkel nicht mehr?: Sie wird bei großen Amplituden merklich ungenauer, sobald die Näherung sin θ ≈ θ nicht mehr trägt. Die Schwingungsdauer liegt dann etwas über der harmonischen Näherung; das sieht man hier.
Was bewirkt die Dämpfung in diesem Modell?: Die Dämpfung entzieht dem Pendel mechanische Energie, daher nimmt die Amplitude mit der Zeit ab. In realen Aufbauten tun das Luftwiderstand, Reibung im Aufhängepunkt und innere Verluste im Material.

Machen Sie mit verwandten Themen in dieser Kategorie weiter — oder alle 85 in „Klassische Mechanik“.

Ganze Kategorie →

Schule

Federpendel

Simulation starten

Harmonische Schwingung einer Masse an der Feder: Federkonstante k und Dämpfung. Schwingungsdauer T = 2π√(m/k).

NeuSchule

Physikalisches Pendel (Stab)

Simulation starten

Dünner homogener Stab: Aufhängepunkt längs L, I und T(δ), reduzierte Länge L_eq.

NeuSchule

Ballistisches Pendel

Simulation starten

Ein Geschoss trifft einen hängenden Klotz: vollkommen unelastischer Stoß oder Stoß mit Stoßzahl e. Aus dem Impuls folgt ω₀ = v/L, aus der Energie θ_max; im Graphen kinetische und potentielle Energie.

NeuSchule

Kegelpendel

Simulation starten

Stationärer Kegel: ω(θ, L), Vektoren T und mg; Vergleich der Umlaufdauer T_rev mit der Schwingungsdauer T₀ des mathematischen Pendels.

NeuSchule

Brückenresonanz (eine Mode)

Simulation starten

Eine Biegemode des Feldes als gedämpfter Oszillator: Sweep der Erregerkreisfrequenz ω um √(k/m). Voreinstellungen „Schritt“ und kleines ζ.

NeuSchule

Trebuchet

Simulation starten

Hebel mit Gegengewicht: das Drehmoment beschleunigt die Last bis zum gewählten Auslösewinkel. Die Wurfweite hängt von den Massen und den Armlängen ab.

Mathematisches Pendel

Diagramme

Zum Modell

So funktioniert es

Wichtige Gleichungen

Häufige Fragen

Ähnliche Simulationen

Federpendel

Physikalisches Pendel (Stab)

Ballistisches Pendel

Kegelpendel

Brückenresonanz (eine Mode)

Trebuchet

Mathematisches Pendel

Diagramme

Zum Modell

So funktioniert es

Wichtige Gleichungen

Häufige Fragen