Warum ist die Bahn eine Hyperbel und keine Ellipse wie bei einem Planeten?

Die Bahnform legen Gesamtenergie und Vorzeichen der Kraft fest. Bei Anziehung 1/r² sind gebundene Bahnen (E 0: das Teilchen kommt aus dem Unendlichen und geht ins Unendliche — auf einer Hyperbel.

Was ist der Stoßparameter?

Der Stoßparameter b ist der Abstand vom Kernmittelpunkt zu der Geraden, längs der das Teilchen ohne Kraft flöge. Anschaulich: wie weit „am Zentrum vorbei“ der Stoß zielt. Großes b — schwache Ablenkung; b = 0 — zentraler Stoß und Rückstreuung.

Warum wird nur ein kleiner Teil der Teilchen um große Winkel gestreut?

Einen großen Winkel gibt es nur bei sehr kleinem b — die Bahn muss fast durch den Kern gehen. Der Kern ist klein gegen das Atom, solche Stoßparameter sind selten. Genau das sah Rutherford: seltene Rückstreuung bedeutet ein kompaktes geladenes Zentrum, keinen „Pudding“ aus verschmierter Ladung.

Warum darf man den Kern als ruhend ansehen?

Ein Goldkern ist um drei Größenordnungen schwerer als das α-Teilchen, der Rückstoß ist klein. Strenger schreibt man die reduzierte Masse μ, aber der ruhende Kern ist eine gute Näherung und entspricht der Auswertung in Rutherfords Arbeit.

Rutherford-Streuung

α-Teilchen im abstoßenden Coulomb-Feld: Hyperbelbahn, Stoßparameter und Streuwinkel.

Zum Modell

Die Rutherford-Streuung ist die Bewegung eines geladenen Teilchens im Coulomb-Feld eines ruhenden Kerns. Die Abstoßung fällt wie 1/r²; die Gesamtenergie ist E > 0, daher ist die Bahn eine Hyperbel. Erhalten bleiben Energie und Drehimpuls L = μ v₀ b, wobei b der Stoßparameter ist. Der Streuwinkel θ hängt mit Energie und Stoßparameter über die Rutherford-Formel zusammen: cot(θ/2) = (2E b)/k, k = q₁q₂/(4πε₀). Kleines b gibt große Ablenkung, bis zur Rückstreuung; großes b einen schwachen Bogen. Den Kern nimmt man punktförmig und ruhend (seine Masse ist viel größer als die des einlaufenden Teilchens); Relativität, Kernkräfte und Strahlung bleiben unberücksichtigt.

Für wen: Mechanik im Studium: Zentralkraft und Drehimpuls; Atomphysik — Rutherford-Versuch.

Wichtige Begriffe

rutherford-streuung
stoßparameter
streuwinkel
coulomb-feld
hyperbelbahn
drehimpuls
abstand der größten annäherung

So funktioniert es

Im abstoßenden 1/r²-Feld läuft ein Teilchen mit E > 0 auf einer Hyperbel. Am Bildschirm ändert man den Stoßparameter b und die Energie: kleines b gibt einen großen Winkel χ, bis zur Rückstreuung. Der Kern ruht, die Bahn wird numerisch berechnet. Die Formel cot(χ/2) ∝ E b verknüpft b und den Winkel.

Häufige Fragen

Warum ist die Bahn eine Hyperbel und keine Ellipse wie bei einem Planeten?: Die Bahnform legen Gesamtenergie und Vorzeichen der Kraft fest. Bei Anziehung 1/r² sind gebundene Bahnen (E < 0) Ellipsen. Hier ist die Kraft abstoßend, E > 0: das Teilchen kommt aus dem Unendlichen und geht ins Unendliche — auf einer Hyperbel.
Was ist der Stoßparameter?: Der Stoßparameter b ist der Abstand vom Kernmittelpunkt zu der Geraden, längs der das Teilchen ohne Kraft flöge. Anschaulich: wie weit „am Zentrum vorbei“ der Stoß zielt. Großes b — schwache Ablenkung; b = 0 — zentraler Stoß und Rückstreuung.
Warum wird nur ein kleiner Teil der Teilchen um große Winkel gestreut?: Einen großen Winkel gibt es nur bei sehr kleinem b — die Bahn muss fast durch den Kern gehen. Der Kern ist klein gegen das Atom, solche Stoßparameter sind selten. Genau das sah Rutherford: seltene Rückstreuung bedeutet ein kompaktes geladenes Zentrum, keinen „Pudding“ aus verschmierter Ladung.
Warum darf man den Kern als ruhend ansehen?: Ein Goldkern ist um drei Größenordnungen schwerer als das α-Teilchen, der Rückstoß ist klein. Strenger schreibt man die reduzierte Masse μ, aber der ruhende Kern ist eine gute Näherung und entspricht der Auswertung in Rutherfords Arbeit.

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