Warum fällt der Kreisel nicht um? Die Gewichtskraft zieht ihn doch nach unten.

Die Gewichtskraft erzeugt ein Drehmoment, aber der schnelle Rotor hat bereits ein großes L längs der Achse. Das Drehmoment ändert die Richtung von L, statt die Achse umzukippen: es entsteht Präzession. Die lotrechte Kotponente des Drehmoments der Gewichtskraft ist null, daher bleibt die lotrechte Projektion von L erhalten.

Wie hängt die Drehzahl mit der Präzessionsgeschwindigkeit zusammen?

Ω ≈ mgd/(Iω): je schneller der Drall, desto langsamer die Präzession. Ein großes L lässt sich schwerer drehen. Ist ω zu klein, bricht die Näherung Ω ≪ ω zusammen, es treten Nutation und Taumeln auf.

Wo sieht man die Präzession eines Kreisels?

Trägheitsnavigation, Stabilität des Motorrads, Schwungräder zur Lageregelung von Satelliten, Kurskreisel. Denselben Grundsatz zeigt die Präzession der Erdachse mit einer Periode von etwa 26 000 Jahren.

Was ist Nutation, und warum fehlt sie hier?

Nutation sind schnelle Nickbewegungen der Achse über der stationären Präzession, meist im Einschwingvorgang. Hier bleibt nur die gleichförmige Präzession Ω = τ/L, ohne Reibung und ohne Nicken, damit τ = dL/dt sichtbar wird.

Präzession eines Kreisels

Drehmoment der Gewichtskraft τ = mgd und Eigendrehimpuls L = Iω. Stationäre Präzession Ω ≈ τ/L; Schema ohne Nutation.

Diagramme

Zum Modell

Die Präzession eines Kreisels: ein schnell drehender, an einem Ende gelagerter Kreisel fällt nicht um, sondern präzediert — die Achse wandert langsam um die Vertikale. Das Drehmoment der Gewichtskraft τ = mgd steht senkrecht auf dem Drehimpuls L = Iω, daher ändert sich die Richtung von L, nicht der Betrag: τ = dL/dt. Die Winkelgeschwindigkeit der Präzession ist Ω ≈ mgd/(Iω), sofern Ω ≪ ω. Masse, Hebelarm d, Trägheitsmoment, Drehzahl und g lassen sich ändern. Nutation, Reibung und Änderung von ω fehlen; der Körper ist starr.

Für wen: Hochschule und vertiefte Schule: Drehimpuls, Drehmoment, Kreisel.

Wichtige Begriffe

drehimpuls
drehmoment
präzession
kreisel
trägheitsmoment
nutation

So funktioniert es

Der drehende Rotor hat den Drehimpuls L längs der Achse. Die Gewichtskraft erzeugt ein Drehmoment τ bezüglich des Lagers, senkrecht zu L: die Richtung von L ändert sich, nicht der Betrag, und die Achse beschreibt einen Kegel. Es gilt die Abschätzung der stationären Präzession Ω = τ/L mit τ = mgd, ohne Nutation und Reibung.

Wichtige Gleichungen

τ = m g d · L = I ω_spin · Ω ≈ τ / L

dL/dt = τ (⊥ L ⇒ |L| ≈ const, Richtung präzediert)

Häufige Fragen

Warum fällt der Kreisel nicht um? Die Gewichtskraft zieht ihn doch nach unten.: Die Gewichtskraft erzeugt ein Drehmoment, aber der schnelle Rotor hat bereits ein großes L längs der Achse. Das Drehmoment ändert die Richtung von L, statt die Achse umzukippen: es entsteht Präzession. Die lotrechte Kotponente des Drehmoments der Gewichtskraft ist null, daher bleibt die lotrechte Projektion von L erhalten.
Wie hängt die Drehzahl mit der Präzessionsgeschwindigkeit zusammen?: Ω ≈ mgd/(Iω): je schneller der Drall, desto langsamer die Präzession. Ein großes L lässt sich schwerer drehen. Ist ω zu klein, bricht die Näherung Ω ≪ ω zusammen, es treten Nutation und Taumeln auf.
Wo sieht man die Präzession eines Kreisels?: Trägheitsnavigation, Stabilität des Motorrads, Schwungräder zur Lageregelung von Satelliten, Kurskreisel. Denselben Grundsatz zeigt die Präzession der Erdachse mit einer Periode von etwa 26 000 Jahren.
Was ist Nutation, und warum fehlt sie hier?: Nutation sind schnelle Nickbewegungen der Achse über der stationären Präzession, meist im Einschwingvorgang. Hier bleibt nur die gleichförmige Präzession Ω = τ/L, ohne Reibung und ohne Nicken, damit τ = dL/dt sichtbar wird.

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