Stimmt die Umlaufdauer des Kegelpendels mit der Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels gleicher Länge überein?

Nein. T_rev = 2π √(L cosθ / g) ist um den Faktor √(cosθ) kürzer als T₀ = 2π √(L/g). Gleichheit nur für θ → 0, wenn der Kreis zu einem Punkt schrumpft.

Was geschieht, wenn man die Masse zu schnell oder zu langsam kreisen lässt?

Ein stationärer Kegel gibt es nur bei ω² = g/(L cosθ). Größeres ω — der Winkel θ wächst (der Kegel öffnet sich). Kleineres ω — der Winkel fällt; bei ω < √(g/L) ist ein waagerechter Kreis unmöglich, die Bewegung wird verwickelt.

Warum der Vergleich mit dem mathematischen Pendel?

Beide skalieren wie √(L/g), aber die Perioden meinen Verschiedenes: hier die Umlaufdauer auf dem Kreis, dort die Schwingungsdauer in der Ebene. Sie zu verwechseln ist ein häufiger Fehler in Aufgaben.

Warum wächst die Fadenspannung mit dem Kegelwinkel?

T = mg / cosθ. Bei größerem θ bleibt die lotrechte Komponente T cosθ gleich mg, also muss T selbst größer sein: ein wachsender Anteil der Spannung geht in die Zentripetalkraft.

Kegelpendel

Q: Warum der Vergleich mit dem mathematischen Pendel?

Beide skalieren wie √(L/g), aber die Perioden meinen Verschiedenes: hier die Umlaufdauer auf dem Kreis, dort die Schwingungsdauer in der Ebene. Sie zu verwechseln ist ein häufiger Fehler in Aufgaben.

Q: Warum wächst die Fadenspannung mit dem Kegelwinkel?

T = mg / cosθ. Bei größerem θ bleibt die lotrechte Komponente T cosθ gleich mg, also muss T selbst größer sein: ein wachsender Anteil der Spannung geht in die Zentripetalkraft.

Stationärer Kegel: ω(θ, L), Vektoren T und mg; Vergleich der Umlaufdauer T_rev mit der Schwingungsdauer T₀ des mathematischen Pendels.

Diagramme

Zum Modell

Kegelpendel: eine Masse an einem Faden der Länge L, die mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω auf einem waagerechten Kreis läuft; der Faden überstreicht einen Kegel. Kräfte: Gewichtskraft mg und Fadenspannung T. Lotrecht: T cosθ = mg; waagerecht liefert T die Zentripetalkraft: T sinθ = mω²r mit r = L sinθ. Daraus folgt ω² = g / (L cosθ): zu jedem Winkel θ gehört bei gegebener L eine bestimmte ω. Die Umlaufdauer ist T_rev = 2π/ω = 2π √(L cosθ / g). Zum Vergleich die Schwingungsdauer kleiner Auslenkungen des mathematischen Pendels T₀ = 2π √(L/g). Der Faden ist masselos und undehnbar, die Masse eine Punktmasse, Luftwiderstand fehlt.

Für wen: Oberstufe und erstes Semester: Kreisbewegung, Kräftezerlegung, Fadenspannung.

Wichtige Begriffe

Kegelpendel
Zentripetalkraft
gleichförmige Kreisbewegung
Winkelgeschwindigkeit
Umlaufdauer
Fadenspannung

So funktioniert es

Die Masse läuft auf einem waagerechten Kreis unter festem Winkel θ zur Lotrechten und beschreibt einen Kegel. Im stationären Fall gleicht die Fadenspannung die Gewichtskraft aus und liefert die Zentripetalkraft. Die Winkelgeschwindigkeit ist ω = √(g/(L cosθ)), daher brauchen steilere Kegel (größeres θ) eine schnellere Drehung. Das ist keine ebene Schwingung des mathematischen Pendels: vergleichen Sie die Umlaufdauer T_rev mit der harmonischen Schwingungsdauer T₀ = 2π√(L/g) bei kleinen Winkeln — es ist nicht dieselbe physikalische Periode, beide skalieren aber wie √(L/g).

Wichtige Gleichungen

T cosθ = mg · T sinθ = mω²(L sinθ) ⇒ ω² = g/(L cosθ)

T_rev = 2π/ω = 2π√(L cosθ/g) · T_simple,small ≈ 2π√(L/g)

Häufige Fragen

Stimmt die Umlaufdauer des Kegelpendels mit der Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels gleicher Länge überein?: Nein. T_rev = 2π √(L cosθ / g) ist um den Faktor √(cosθ) kürzer als T₀ = 2π √(L/g). Gleichheit nur für θ → 0, wenn der Kreis zu einem Punkt schrumpft.
Was geschieht, wenn man die Masse zu schnell oder zu langsam kreisen lässt?: Ein stationärer Kegel gibt es nur bei ω² = g/(L cosθ). Größeres ω — der Winkel θ wächst (der Kegel öffnet sich). Kleineres ω — der Winkel fällt; bei ω < √(g/L) ist ein waagerechter Kreis unmöglich, die Bewegung wird verwickelt.
Warum der Vergleich mit dem mathematischen Pendel?: Beide skalieren wie √(L/g), aber die Perioden meinen Verschiedenes: hier die Umlaufdauer auf dem Kreis, dort die Schwingungsdauer in der Ebene. Sie zu verwechseln ist ein häufiger Fehler in Aufgaben.
Warum wächst die Fadenspannung mit dem Kegelwinkel?: T = mg / cosθ. Bei größerem θ bleibt die lotrechte Komponente T cosθ gleich mg, also muss T selbst größer sein: ein wachsender Anteil der Spannung geht in die Zentripetalkraft.

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