Warum gibt es bei zwei Massen genau zwei Normalschwingungen?

So viele, wie Freiheitsgrade: zwei Massen, jede längs einer Achse. Jede andere Bewegung ist eine Linearkombination der symmetrischen und der antisymmetrischen Mode.

Was sind Schwebungen?

Langsames Hin- und Herwandern der Energie, wenn zwei Moden mit nahen Frequenzen zugleich erregt sind. Lenkt man eine Masse aus und lässt die andere in Ruhe, sind beide Moden dabei; die Schwebungsfrequenz ist |ωₐ − ωₛ|.

Wie erregt man nur eine Mode?

Lenken Sie beide Massen gleich aus — die mittlere Feder arbeitet nicht, es bleibt ωₛ. Lenken Sie sie um denselben Betrag gegeneinander aus — vor allem ωₐ. Die Vorlagen in der Leiste setzen genau diese Anfangsbedingungen.

Wo gibt es sonst gekoppelte Schwingungen?

Zwei Pendel an einer gemeinsamen Feder, Atome im Gitter, gekoppelte Schwingkreise, Bindungen im Molekül. Normalschwingungen sind die gemeinsame Sprache solcher Systeme.

Gekoppelte Schwingungen

Zwei Massen und drei Federn: Normalschwingungen ωₛ, ωₐ und Schwebungen.

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Gekoppelte Schwingungen — zwei gleiche Massen zwischen zwei äußeren Federn der Federkonstante k und einer mittleren Feder der Federkonstante K. Die Gleichungen: mẍ₁ = −k x₁ − K(x₁ − x₂), mẍ₂ = −k x₂ − K(x₂ − x₁). Die Bewegung zerlegt sich in Normalschwingungen: die symmetrische (Massen gemeinsam, mittlere Feder undeformiert) mit ωₛ = √(k/m) und die antisymmetrische (gegeneinander) mit ωₐ = √((k + 2K)/m). Sind alle drei Federn gleich (K = k), folgt das bekannte ωₐ = √(3k/m). Ein beliebiger Start ist Superposition der Moden; bei nahen Frequenzen sieht man Schwebungen: die Energie wandert langsam von einer Masse zur anderen. Die Federn sind hookesch, Dämpfung fehlt, die Bewegung ist eindimensional.

Für wen: Gymnasium (Leistungskurs) und erstes Semester: Normalschwingungen, Schwebungen, gekoppelte Schwingungen zweier Massen.

Wichtige Begriffe

gekoppelte Schwingungen
Normalschwingungen
Schwebungen
Hookesches Gesetz
symmetrische Mode
antisymmetrische Mode
Superposition

So funktioniert es

Zwei gleiche Massen stehen zwischen äußeren Federn der Federkonstante k und sind durch die mittlere Feder K verbunden. Die Eigenfrequenzen: ωₛ = √(k/m) (Massen gemeinsam) und ωₐ = √((k + 2K)/m) (gegeneinander). Ein beliebiger Start ist Superposition der Moden; in den Graphen x₁(t) und x₂(t) sieht man Schwebungen.

Wichtige Gleichungen

mẍ₁ = −k x₁ − K(x₁ − x₂) · mẍ₂ = −k x₂ − K(x₂ − x₁)

ωₛ = √(k/m) · ωₐ = √((k + 2K)/m)

Häufige Fragen

Warum gibt es bei zwei Massen genau zwei Normalschwingungen?: So viele, wie Freiheitsgrade: zwei Massen, jede längs einer Achse. Jede andere Bewegung ist eine Linearkombination der symmetrischen und der antisymmetrischen Mode.
Was sind Schwebungen?: Langsames Hin- und Herwandern der Energie, wenn zwei Moden mit nahen Frequenzen zugleich erregt sind. Lenkt man eine Masse aus und lässt die andere in Ruhe, sind beide Moden dabei; die Schwebungsfrequenz ist |ωₐ − ωₛ|.
Wie erregt man nur eine Mode?: Lenken Sie beide Massen gleich aus — die mittlere Feder arbeitet nicht, es bleibt ωₛ. Lenken Sie sie um denselben Betrag gegeneinander aus — vor allem ωₐ. Die Vorlagen in der Leiste setzen genau diese Anfangsbedingungen.
Wo gibt es sonst gekoppelte Schwingungen?: Zwei Pendel an einer gemeinsamen Feder, Atome im Gitter, gekoppelte Schwingkreise, Bindungen im Molekül. Normalschwingungen sind die gemeinsame Sprache solcher Systeme.

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