Por que se toma a colisão como perfeitamente inelástica? A energia não se perde?

A bala crava-se no bloco e os dois seguem juntos: essa é a definição de colisão perfeitamente inelástica. Parte da energia cinética vira calor e deformação, por isso a conservação da energia não se aplica à colisão em si. No instante breve do impacto, para o sistema «bala + bloco» conserva-se a quantidade de movimento.

É preciso a aproximação de ângulos pequenos?

Não. A fórmula de θ_max sai da energia exata ½(M + m)V² = (M + m)gL(1 − cos θ_max), e o movimento, da equação completa do pêndulo. A aproximação sin θ ≈ θ só vale em amplitudes muito pequenas e aqui não é usada.

Para que isso servia na balística?

Antes da eletrônica estimava-se assim a velocidade inicial da bala: media-se o ângulo de um bloco pesado suspenso e calculava-se v₀ com a quantidade de movimento e a energia. Hoje é, sobretudo, uma prática de laboratório sobre as leis de conservação.

O que falta no modelo ideal?

A resistência do ar na oscilação, o atrito no pivô, o momento de inércia do bloco (tratado como ponto material) e a elasticidade da haste. No experimento real isso introduz erro sistemático.

Pêndulo balístico

Uma bala atinge um bloco suspenso: colisão perfeitamente inelástica ou com coeficiente de restituição e. Pela quantidade de movimento obtém-se ω₀ = v/L; pela energia, θ_max. No gráfico, energia cinética e potencial.

Gráficos

Sobre o modelo

O pêndulo balístico é o modo clássico de estimar a velocidade de uma bala sem medi-la em voo. Há duas etapas: uma colisão perfeitamente inelástica (a bala de massa m crava-se no bloco de massa M) e, em seguida, a oscilação sem perdas. A quantidade de movimento dá (M + m)V = mv₀. O ângulo máximo do painel segue da conservação da energia ½(M + m)V² = (M + m)gL(1 − cos θ_max). A animação integra θ″ = −(g/L) sin θ (Verlet em velocidade), e não a aproximação sin θ ≈ θ. Há ainda uma colisão unidimensional com coeficiente de restituição e, quando no fio está só a massa M. Os gráficos mostram a energia cinética, a potencial e a mecânica total. Simplificações: haste sem peso, sem atrito nem resistência, colisão instantânea.

Para quem: Ensino médio e início da faculdade: conservação da quantidade de movimento numa colisão inelástica e, depois, conservação da energia no pêndulo.

Conceitos-chave

pêndulo balístico
conservação da quantidade de movimento
lei da conservação da energia
colisão perfeitamente inelástica
ângulo máximo de afastamento
coeficiente de restituição
velocidade da bala

Como funciona

A bala atinge o bloco pendurado no ponto mais baixo; o impulso vai pela tangente. Na colisão perfeitamente inelástica a bala crava-se: (M + m)V = mv₀, e depois a oscilação não tem perdas. Com coeficiente de restituição e a colisão é unidimensional: o bloco recebe v₂′ = (1 + e)mv₀/(m + M) e a bala rebate com v₁′ = v₀ − (1 + e)Mv₀/(m + M); no fio está só o bloco, de modo que ω₀ = v₂′/L. O ângulo máximo de ½M v₂′² = MgL(1 − cos θ_max) pode ser comparado com a solução numérica da equação do pêndulo.

Fórmulas principais

Modo embutido: (M+m)V = mv₀ · ½(M+m)V² = (M+m)gL(1−cos θ_max)

Caso geral: v₂′ = (1+e)mv₀/(m+M) · ω₀ = v₂′/L

Perguntas frequentes

Por que se toma a colisão como perfeitamente inelástica? A energia não se perde?: A bala crava-se no bloco e os dois seguem juntos: essa é a definição de colisão perfeitamente inelástica. Parte da energia cinética vira calor e deformação, por isso a conservação da energia não se aplica à colisão em si. No instante breve do impacto, para o sistema «bala + bloco» conserva-se a quantidade de movimento.
É preciso a aproximação de ângulos pequenos?: Não. A fórmula de θ_max sai da energia exata ½(M + m)V² = (M + m)gL(1 − cos θ_max), e o movimento, da equação completa do pêndulo. A aproximação sin θ ≈ θ só vale em amplitudes muito pequenas e aqui não é usada.
Para que isso servia na balística?: Antes da eletrônica estimava-se assim a velocidade inicial da bala: media-se o ângulo de um bloco pesado suspenso e calculava-se v₀ com a quantidade de movimento e a energia. Hoje é, sobretudo, uma prática de laboratório sobre as leis de conservação.
O que falta no modelo ideal?: A resistência do ar na oscilação, o atrito no pivô, o momento de inércia do bloco (tratado como ponto material) e a elasticidade da haste. No experimento real isso introduz erro sistemático.

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