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Inicio/Visualización matemática/Fractales: Mandelbrot, Julia, Koch

Fractales: Mandelbrot, Julia, Koch

Conjunto de Mandelbrot, conjunto de Julia y copo de nieve de Koch. Iteraciones z ← z² + c; la escala, con la rueda.

Modo

180

Atajos de teclado

  • •R — restablecer la vista (Mandelbrot / Julia)

Magnitudes medidas

Modomandelbrot

Sobre el modelo

El conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia se construyen con la iteración z_{n+1} = z_n² + c en el plano complejo. En Mandelbrot, c es el punto del plano y z₀ = 0; el punto pertenece al conjunto si la órbita permanece acotada. En Julia el parámetro c se fija y se cambia el z₀ inicial. El color es el número de iteraciones hasta |z| > R (tiempo de escape); lo oscuro — la órbita no salió en el número de pasos dado. El copo de nieve de Koch es otra construcción: cada segmento se reemplaza por una poligonal de cuatro tramos; el perímetro crece y el área queda finita. El número de iteraciones y el radio de escape son finitos: es una aproximación de la frontera verdadera. La vista se desplaza con el ratón y la escala, con la rueda; en Koch se cambia la profundidad de recursión.

Para quién: Números complejos y sistemas dinámicos: iteraciones, acotación de la órbita, autosemejanza.

Conceptos clave

  • conjunto de Mandelbrot
  • conjunto de Julia
  • copo de nieve de Koch
  • número complejo
  • iteración
  • tiempo de escape
  • autosemejanza

Cómo funciona

Mandelbrot: z₀ = 0, c recorre el píxel, z ← z² + c. Julia: c fijo, z₀ es el píxel. El color es el número de pasos hasta salir del radio R. El copo de nieve de Koch se construye al reemplazar cada segmento por una poligonal; la profundidad de recursión fija el detalle. El arrastre desplaza la vista; la rueda cambia la escala.

Fórmulas principales

Mandelbrot: z₀ = 0, zₙ₊₁ = zₙ² + c (c recorre el plano)
Julia: c fijo, z₀ = píxel, zₙ₊₁ = zₙ² + c

Preguntas frecuentes

¿Qué significan los colores distintos en el conjunto de Mandelbrot?
Los puntos oscuros: la órbita se quedó acotada en el número de pasos dado (candidato al conjunto). Los demás colores: cuántas iteraciones hicieron falta para que |z| superara el radio de escape. Es un mapa de la rapidez de huida, no la «altura» del conjunto.
¿En qué se diferencia el conjunto de Julia del de Mandelbrot?
La misma ecuación z ← z² + c, papeles distintos. Mandelbrot: z₀ = 0 y c recorre el plano. Julia: c fijo y z₀ recorre el plano. Un punto c interior al Mandelbrot da un conjunto de Julia conexo; afuera, «polvo».
¿Por qué en el copo de Koch el perímetro es infinito y el área no?
En cada paso cada segmento se reemplaza por cuatro de longitud 1/3: el perímetro se multiplica por 4/3 y crece sin límite. Los triángulos que se añaden se hacen pronto muy chicos, así que el área converge.