Por que a estrela menos massiva é mais rápida e tem órbita maior?

As duas estrelas giram em torno do centro de massa comum com o mesmo período. A condição de centro de massa: M₁ r₁ = M₂ r₂, portanto a massa menor fica mais longe do baricentro. A circunferência maior, no mesmo tempo, ela percorre com velocidade maior.

Por que aqui T² ∝ a³/(M₁+M₂), e não simplesmente T² ∝ a³?

Para um planeta junto ao Sol a massa do corpo central quase coincide com a massa total do sistema. Na binária as duas massas são comparáveis. A terceira lei de Kepler newtoniana: T² = 4π² a³ / [G(M₁+M₂)], em que a é a distância entre as estrelas.

O que falta ao modelo circular em comparação com as binárias reais?

A maioria das órbitas é elíptica. Não há deformação de maré, transferência de massa nem precessão relativística, importantes nas binárias próximas. As estrelas são massas pontuais com excentricidade nula.

Para que os astrônomos observam binárias?

Pelo período e pelas velocidades radiais (efeito Doppler) obtêm-se diretamente as massas das estrelas. É o modo principal de pôr à prova os modelos de estrutura e evolução.

Estrela binária

Órbitas em torno do centro de massa; r₁/r₂ = M₂/M₁; terceira lei de Kepler T² ∝ a³/(M₁+M₂).

Gráficos

Sobre o modelo

A estrela binária em órbitas circulares em torno do centro de massa comum. A lei da gravitação universal F = G M₁ M₂ / r² dá a força centrípeta de cada estrela. Os raios são inversamente proporcionais às massas: r₁ / r₂ = M₂ / M₁; a estrela mais massiva fica mais perto do centro de massa. A distância entre as estrelas é a = r₁ + r₂, e o período obedece a T² = 4π² a³ / [G(M₁+M₂)]. As órbitas são estritamente circulares; as estrelas são massas pontuais; não entram elipses, marés nem transferência de massa. Variam-se M₁, M₂ e a; no gráfico, T(a).

Para quem: Ensino médio e início da graduação: centro de massa, leis de Kepler, lei da gravitação universal.

Conceitos-chave

centro de massa
estrela binária
terceira lei de Kepler
período orbital
movimento circular
semieixo maior
lei da gravitação universal

Como funciona

Duas massas pontuais giram em torno do centro de massa comum. Em órbitas circulares as estrelas ficam sempre opostas em relação ao baricentro; r₁ = a M₂/(M₁+M₂), r₂ = a M₁/(M₁+M₂). Terceira lei de Kepler para o movimento relativo: T² ∝ a³/(M₁+M₂). Na tela — as órbitas e o gráfico do período em função da separação a.

Fórmulas principais

r₁ = a M₂/(M₁+M₂) , r₂ = a M₁/(M₁+M₂)

T² ∝ a³ / (M₁ + M₂)

Perguntas frequentes

Por que a estrela menos massiva é mais rápida e tem órbita maior?: As duas estrelas giram em torno do centro de massa comum com o mesmo período. A condição de centro de massa: M₁ r₁ = M₂ r₂, portanto a massa menor fica mais longe do baricentro. A circunferência maior, no mesmo tempo, ela percorre com velocidade maior.
Por que aqui T² ∝ a³/(M₁+M₂), e não simplesmente T² ∝ a³?: Para um planeta junto ao Sol a massa do corpo central quase coincide com a massa total do sistema. Na binária as duas massas são comparáveis. A terceira lei de Kepler newtoniana: T² = 4π² a³ / [G(M₁+M₂)], em que a é a distância entre as estrelas.
O que falta ao modelo circular em comparação com as binárias reais?: A maioria das órbitas é elíptica. Não há deformação de maré, transferência de massa nem precessão relativística, importantes nas binárias próximas. As estrelas são massas pontuais com excentricidade nula.
Para que os astrônomos observam binárias?: Pelo período e pelas velocidades radiais (efeito Doppler) obtêm-se diretamente as massas das estrelas. É o modo principal de pôr à prova os modelos de estrutura e evolução.

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