Warum „springt“ die farbige Linie manchmal zwischen den K-Schritten?

Äste der Ortskurve können sich **kreuzen** oder fast zusammenfallen; die gierige Zuordnung der Wurzeln zwischen benachbarten **K** vertauscht dann manchmal ein Paar in einem Schritt. Erhöhen Sie das **maximale K** der Zerlegung oder verfolgen Sie gedanklich längs **σ**; für Druckqualität braucht man eine echte Astverfolgung, nicht diese schulische Skizze.

Ersetzen die gestrichelten Asymptoten die Ortskurve selbst?

Nein — das ist das Rezept von Evans für die **n − m** Äste, die bei **K → ∞** ins Unendliche laufen. Die Streckenzüge entstehen weiterhin aus den Polynomwurzeln; die Strahlen sind **Stützgeometrie** bei **n > m**.

Warum werden Nullstellen gesperrt, wenn deg N ≥ deg D würde?

Die Strecke muss **streng eigentlich** bleiben für die klassische Einheitsrückführung (beschränktes Verhalten bei hohen Frequenzen). Die Oberfläche lässt keine Nullstellen zu, die ein **unzulässiges G** ergäben.

Garantiert Durand–Kerner die Konvergenz?

Nein — wie bei vielen gleichzeitigen Iterationen ist das eine **Heuristik**, arbeitet hier aber mit **Startwert vom vorigen Schritt** und mäßigen Graden zuverlässig. Bei exotischer Wurzellage verschieben Sie den Pol oder **K** leicht; die Vorlagen sind auf schulische Polynome ausgelegt.

Wurzelortskurve: 1 + K·G(s) = 0

Derselbe Pol-Nullstellen-Editor: Bahnen der geschlossenen Pole bei logarithmischem Durchlauf von K, Asymptoten und Abschnitt auf der reellen Achse; Wurzeln nach Durand–Kerner beim aktuellen K.

Zum Modell

Die Wurzelortskurve zeigt, wie sich die Pole des geschlossenen Kreises bewegen, wenn die Kreisverstärkung geändert wird. Negative Einheitsrückführung mit der skalaren Strecke G(s) = g₀ ∏(s − z_i) / ∏(s − p_j) — derselbe Klick in die s-Ebene wie im Bode/Nyquist-Labor. Die charakteristische Gleichung des Kreises ist 1 + K G(s) = 0, in Polynomform D(s) + K g₀ N₀(s) = 0, wobei D und N₀ monische Polynome aus der Liste der Pole und Nullstellen sind. Der logarithmische Durchlauf von K ergibt farbige Streckenzüge — eine diskrete Skizze der Wurzelortskurve. Bei deg D > deg N werden Asymptoten (Schwerpunkt und Winkel) und der Abschnitt auf der reellen Achse nach der Regel „ungerade Zahl reeller Pole und Nullstellen rechts“ gezeichnet. Die Wurzeln bei jedem K sucht die Durand–Kerner-Iteration am monischen Polynom; zwischen den Schritten dient der Wurzelvektor des vorigen K und eine gierige Zuordnung, damit die Äste visuell stetig bleiben (das ist Zeichnung, kein Ersatz für den Beweis nach Evans). Der Schieberegler des aktuellen K rechnet die Wurzeln mit Startwert vom nächsten Durchlaufschritt; goldene Ringe markieren diese Wurzeln, der Zähler die Pole des geschlossenen Kreises in der RHE zur schnellen Instabilitätsschätzung.

Für wen: Klassische Regelungstechnik: Wurzelortskurve nach Evans, derselbe Pol-Nullstellen-Editor wie bei Bode/Nyquist.

Wichtige Begriffe

Wurzelortskurve
charakteristische Gleichung
Einheitsrückführung
Pole und Nullstellen der offenen Kette
Asymptoten
Regel der reellen Achse
Durand–Kerner
Stabilität des geschlossenen Kreises

So funktioniert es

1 + K·G(s) = 0 bei G = g₀∏(s−z)/∏(s−p) ist D + K g₀ N₀ = 0; der Durchlauf über log K und Durand–Kerner skizzieren die Äste, Asymptoten und reelle Achse sind die klassischen Hinweise nach Evans; die Zuordnung der Wurzeln zwischen den Schritten dient der Linienstetigkeit, nicht dem Beweis.

Wichtige Gleichungen

1 + K G(s) = 0 ⟺ D(s) + K g₀ N₀(s) = 0

σ_a = (Σ p_i − Σ z_i) / (n − m), θ_k = (2k+1)π / (n − m)

Häufige Fragen

Warum „springt“ die farbige Linie manchmal zwischen den K-Schritten?: Äste der Ortskurve können sich kreuzen oder fast zusammenfallen; die gierige Zuordnung der Wurzeln zwischen benachbarten K vertauscht dann manchmal ein Paar in einem Schritt. Erhöhen Sie das maximale K der Zerlegung oder verfolgen Sie gedanklich längs σ; für Druckqualität braucht man eine echte Astverfolgung, nicht diese schulische Skizze.
Ersetzen die gestrichelten Asymptoten die Ortskurve selbst?: Nein — das ist das Rezept von Evans für die n − m Äste, die bei K → ∞ ins Unendliche laufen. Die Streckenzüge entstehen weiterhin aus den Polynomwurzeln; die Strahlen sind Stützgeometrie bei n > m.
Warum werden Nullstellen gesperrt, wenn deg N ≥ deg D würde?: Die Strecke muss streng eigentlich bleiben für die klassische Einheitsrückführung (beschränktes Verhalten bei hohen Frequenzen). Die Oberfläche lässt keine Nullstellen zu, die ein unzulässiges G ergäben.
Garantiert Durand–Kerner die Konvergenz?: Nein — wie bei vielen gleichzeitigen Iterationen ist das eine Heuristik, arbeitet hier aber mit Startwert vom vorigen Schritt und mäßigen Graden zuverlässig. Bei exotischer Wurzellage verschieben Sie den Pol oder K leicht; die Vorlagen sind auf schulische Polynome ausgelegt.

Machen Sie mit verwandten Themen in dieser Kategorie weiter — oder alle 48 in „Ingenieurwesen“.

Ganze Kategorie →

NeuHochschule / Forschung

Bode- und Nyquist-Diagramm aus Pol-Nullstellen-Karte

Simulation starten

Klick in die s-Ebene: reelle oder konjugiert komplexe Pole (●) und Nullstellen (×); G(s)=K∏(s−z)/∏(s−p). Bode-Diagramm und Ortskurve mit Punkt −1; Phasen- und Amplitudenrand.

NeuHochschule / Forschung

Wagen-Pendel: LQR, MPC und PID

Simulation starten

Nichtlineares Wagen-Pendel in der oberen Lage: Linearisierung, diskretes LQR (Riccati), endlicher Horizont LQ-MPC mit Endkosten P∞ und handeingestelltes PID — eine Kraftgrenze.

NeuHochschule / Forschung

AM-/FM-Modulation

Simulation starten

Träger und Nachricht: Hüllkurve der AM und Phase der FM; Zeitverlauf und DFT-Spektrum als Momentaufnahme.

NeuHochschule / Forschung

PID-Regler (1D)

Simulation starten

Wagen auf der Schiene: Beiwerte Kp, Ki, Kd und zufällige Geschwindigkeitsimpulse zur Sollwertlage x = 0.

NeuHochschule / Forschung

PID-Einstellung

Simulation starten

Sprungantwort einer Strecke 2. Ordnung: Überschwingen, Anstiegs- und Ausregelzeit, Einstellregeln nach Ziegler–Nichols (Ku/Pu), Sättigung und Störunterdrückung.

NeuSchule

Viergelenkkette

Simulation starten

Kurbelschwinge: Gliedlängen, Kurbeldrehzahl, Koppelkurve.

Wurzelortskurve: 1 + K·G(s) = 0

Zum Modell

So funktioniert es

Wichtige Gleichungen

Häufige Fragen

Ähnliche Simulationen

Bode- und Nyquist-Diagramm aus Pol-Nullstellen-Karte

Wagen-Pendel: LQR, MPC und PID

AM-/FM-Modulation

PID-Regler (1D)

PID-Einstellung

Viergelenkkette

Wurzelortskurve: 1 + K·G(s) = 0

Zum Modell

So funktioniert es

Wichtige Gleichungen

Häufige Fragen