Por que a linha colorida às vezes «salta» entre passos de K?

Os ramos do lugar podem **cruzar-se** ou quase fundir-se; o emparelhamento guloso de raízes entre **K** vizinhos às vezes confunde um par num passo. Suba o **K máximo** da varredura ou acompanhe a olho ao longo de **σ**; para qualidade de publicação faz falta um rastreamento de ramos de verdade, não este esboço de aula.

As assíntotas tracejadas substituem o lugar em si?

Não: é a receita de Evans para os **n − m** ramos que vão ao infinito quando **K → ∞**. As linhas quebradas continuam saindo das raízes do polinômio; os raios são geometria de **apoio** quando **n > m**.

Por que se bloqueiam zeros se ficar deg N ≥ deg D?

A planta deve continuar **estritamente própria** na formulação clássica com realimentação unitária (comportamento limitado em alta frequência). A interface não deixa acrescentar zeros que deem um **G inadmissível**.

Durand–Kerner garante a convergência?

Não: como muitas iterações simultâneas é uma **heurística**, mas com **partida a quente** e graus moderados aqui funciona de modo estável. Se as raízes ficarem numa disposição exótica, desloque um pouco um polo ou o **K**; as predefinições destinam-se a polinômios de aula.

Lugar das raízes

O mesmo editor de polos e zeros: trajetórias dos polos de malha fechada ao varrer K em escala logarítmica, assíntotas e trecho do eixo real; raízes de Durand–Kerner no K atual.

Sobre o modelo

O lugar das raízes mostra como se movem os polos da malha fechada ao mudar o ganho da malha. Realimentação negativa unitária com uma planta escalar G(s) = g₀ ∏(s − z_i) / ∏(s − p_j) — o mesmo clique no plano s do laboratório de Bode/Nyquist. A equação característica da malha é 1 + K G(s) = 0, na forma polinomial D(s) + K g₀ N₀(s) = 0, em que D e N₀ são polinômios mônicos da lista de polos e zeros. A varredura logarítmica de K dá linhas quebradas coloridas: um esboço discreto do lugar das raízes. Se deg D > deg N desenham-se as assíntotas (centroide e ângulos) e o trecho do eixo real segundo a regra do «número ímpar de polos e zeros reais à direita». As raízes em cada passo de K buscam-se com a iteração de Durand–Kerner para o polinômio mônico; entre passos reutiliza-se o vetor de raízes do K anterior e uma permutação gulosa para a continuidade visual dos ramos (é um adorno do gráfico, não um substituto da demonstração de Evans). O controle do K atual recalcula as raízes com partida a quente a partir do passo de varredura mais próximo; os anéis dourados marcam essas raízes e o contador, os polos da malha fechada no SPD, para uma leitura rápida de instabilidade.

Para quem: Teoria clássica de controle: lugar das raízes de Evans, o mesmo editor de polos e zeros que em Bode/Nyquist.

Conceitos-chave

lugar das raízes
equação característica
realimentação unitária
polos e zeros da malha aberta
assíntotas
regra do eixo real
Durand–Kerner
estabilidade da malha fechada

Como funciona

1 + K·G(s) = 0 com G = g₀∏(s−z)/∏(s−p) é D + K g₀ N₀ = 0; o traçado em log K e Durand–Kerner dão o esboço dos ramos; as assíntotas e o eixo real são as pistas clássicas de Evans; o emparelhamento de raízes entre passos é para suavizar as linhas, não uma demonstração.

Fórmulas principais

1 + K G(s) = 0 ⟺ D(s) + K g₀ N₀(s) = 0

σ_a = (Σ p_i − Σ z_i) / (n − m), θ_k = (2k+1)π / (n − m)

Perguntas frequentes

Por que a linha colorida às vezes «salta» entre passos de K?: Os ramos do lugar podem cruzar-se ou quase fundir-se; o emparelhamento guloso de raízes entre K vizinhos às vezes confunde um par num passo. Suba o K máximo da varredura ou acompanhe a olho ao longo de σ; para qualidade de publicação faz falta um rastreamento de ramos de verdade, não este esboço de aula.
As assíntotas tracejadas substituem o lugar em si?: Não: é a receita de Evans para os n − m ramos que vão ao infinito quando K → ∞. As linhas quebradas continuam saindo das raízes do polinômio; os raios são geometria de apoio quando n > m.
Por que se bloqueiam zeros se ficar deg N ≥ deg D?: A planta deve continuar estritamente própria na formulação clássica com realimentação unitária (comportamento limitado em alta frequência). A interface não deixa acrescentar zeros que deem um G inadmissível.
Durand–Kerner garante a convergência?: Não: como muitas iterações simultâneas é uma heurística, mas com partida a quente e graus moderados aqui funciona de modo estável. Se as raízes ficarem numa disposição exótica, desloque um pouco um polo ou o K; as predefinições destinam-se a polinômios de aula.

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