Warum gelten die Stäbe als gelenkig verbunden?

Das ideale Gelenk überträgt kein Moment, nur eine Kraft längs der Achse. Jeder Stab ist dann ein Zweikraftelement: Zug oder Druck. Schweißung und Schrauben sind steifer, im ersten Ansatz ersetzt man sie durch Gelenke.

Was geschieht mit den Kräften, wenn das Fachwerk sehr flach wird?

Der Winkel θ fällt, sin θ → 0, die Kräfte in den Schrägstäben und im Zugband wachsen wie 1/sin θ. Ein flaches Fachwerk braucht dickere Stäbe bei gleicher P — deshalb haben Brücken und Dächer eine sichtbare Bauhöhe.

Ist der Untergurt immer gezogen?

Bei symmetrischer Last nach unten in der Spitze — ja: die Schrägstäbe drücken die Auflager nach außen, das Zugband zieht sie zusammen. Bei anderer Lastlage oder anderem Vorzeichen kann das Vorzeichen im Untergurt wechseln.

Darf man den Stab außerhalb des Knotens belasten?

In diesem Schema lastet die Kraft nur in der Spitze. Eine Kraft in der Stabmitte würde Biegung erzeugen und das Modell des Zweikraftelements sprengen: dann rechnet man wie beim Balken.

Ebene Fachwerkbrücke (Dreieck)

Symmetrisches Dreistabfachwerk: Stabkräfte und Auflagerreaktionen in Abhängigkeit von Spannweite, Höhe und Last in der Spitze.

Zum Modell

Das symmetrische Dreiecksfachwerk aus drei Stäben ist das einfachste statisch bestimmte Schema. Last P nach unten in der Spitze; am Fuß Gelenk und Loslager. Aus dem Knotengleichgewicht der Spitze sind die schrägen Stäbe gedrückt: F = P / (2 sin θ), wobei θ der Gurtwinkel zur Waagerechten ist. Der Untergurt (Zugband) ist gezogen und zieht die Auflager zusammen. Lotrechte Auflagerkräfte je P/2. Stäbe gewichtslos, Gelenke ideal, keine Biegung. Bei kleiner Höhe ist sin θ klein, die Gurtkräfte steigen steil.

Für wen: Statik: Knotenpunktverfahren, statisch bestimmtes Fachwerk.

Wichtige Begriffe

ebenes fachwerk
statisches gleichgewicht
stabkraft
auflagerreaktion
gelenkknoten
statisch bestimmtes system
zugband

So funktioniert es

Spannweite L, Höhe h, Kraft P in der Spitze. Winkel aus der Geometrie, Kräfte aus ΣF = 0 in den Knoten: Schrägstäbe gedrückt, Zugband gezogen. Auf dem Bild die Vorzeichenfarbe (Druck / Zug) und die Auflager R_By, R_Cy ≈ P/2.

Häufige Fragen

Warum gelten die Stäbe als gelenkig verbunden?: Das ideale Gelenk überträgt kein Moment, nur eine Kraft längs der Achse. Jeder Stab ist dann ein Zweikraftelement: Zug oder Druck. Schweißung und Schrauben sind steifer, im ersten Ansatz ersetzt man sie durch Gelenke.
Was geschieht mit den Kräften, wenn das Fachwerk sehr flach wird?: Der Winkel θ fällt, sin θ → 0, die Kräfte in den Schrägstäben und im Zugband wachsen wie 1/sin θ. Ein flaches Fachwerk braucht dickere Stäbe bei gleicher P — deshalb haben Brücken und Dächer eine sichtbare Bauhöhe.
Ist der Untergurt immer gezogen?: Bei symmetrischer Last nach unten in der Spitze — ja: die Schrägstäbe drücken die Auflager nach außen, das Zugband zieht sie zusammen. Bei anderer Lastlage oder anderem Vorzeichen kann das Vorzeichen im Untergurt wechseln.
Darf man den Stab außerhalb des Knotens belasten?: In diesem Schema lastet die Kraft nur in der Spitze. Eine Kraft in der Stabmitte würde Biegung erzeugen und das Modell des Zweikraftelements sprengen: dann rechnet man wie beim Balken.

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