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Startseite/Ingenieurwesen/Dünnwandiger Druckbehälter

Dünnwandiger Druckbehälter

Membranspannungen in Zylinder und Kugel: Umfangsspannung σθ, Längsspannung σz, Vergleichsspannung nach von Mises, Prüfung r/t und Sicherheit gegen Fließen.

Behältergeometrie

600 mm
8 mm

Druck und Werkstoff

2.5 MPa
250 MPa

Die dünnwandigen Formeln setzen großes r/t und einen Membranspannungszustand voraus; Stutzen, Schweißnähte, Böden und Stabilitätsnachweise liegen außerhalb des Modells.

Gemessene Größen

Umfangsspannung σθ187.5MPa
Längsspannung σz93.8MPa
Vergleichsspannung nach von Mises162.4MPa
Sicherheitsbeiwert1.54
Verhältnis r/t75.0
Abschätzung des Fließdrucks3.33MPa

Das ist ein Lehrbeispiel für Membranspannungen. Die wirkliche Behälterauslegung prüft zusätzlich Normen, zulässige Spannungen, Nahtfaktoren, Korrosionszuschlag, Böden, Öffnungen, Temperaturspannungen, Außendruck, Ermüdung und Prüfungen.

Diagramme

Zum Modell

Beim dünnwandigen Druckbehälter gelten die Wandspannungen als Membranspannungen (Kesselformel), wenn das Verhältnis von Radius zu Wanddicke hinreichend groß ist. Beim geschlossenen Zylinder ist die Umfangsspannung σθ = pr/t, die Längsspannung σz = pr/(2t); bei der Kugel sind beide Haupt-Membranspannungen pr/(2t). Zylinder und Kugel werden verglichen; gerechnet werden die Vergleichsspannung nach von Mises σ_vm = √(σθ² − σθ σz + σz²), die Sicherheit gegen Fließen SF = σ_y / σ_vm und das Verhältnis r/t. Die Regel r/t ≥ 10 ist ein Anhalt für die Gültigkeit der dünnwandigen Formeln; bei kleinerem r/t ändert sich die Spannung über die Dicke, und man braucht die Lamé-Gleichungen. Normen für Druckgeräte, Nahtfaktoren, Korrosionszuschlag, Böden, Stutzen, Temperaturgradienten, Stabilität unter Außendruck und Ermüdung fehlen.

Für wen: Festigkeitslehre und Behälterberechnung: Membranspannungen, Hypothese von Mises, dünnwandige Näherung.

Wichtige Begriffe

  • dünnwandiger druckbehälter
  • umfangsspannung
  • längsspannung
  • membranspannung
  • vergleichsspannung nach von mises
  • sicherheitsbeiwert

So funktioniert es

Geschlossener Zylinder: σθ = pr/t, σz = pr/(2t). Kugel: σθ = σφ = pr/(2t). Gerechnet werden Membranspannungen, Vergleichsspannung nach von Mises σ_vm = √(σθ² − σθ σz + σz²) und Sicherheit SF = σ_y / σ_vm. Die Warnung r/t < 10 bedeutet, dass die dünnwandige Näherung schon zweifelhaft ist.

Wichtige Gleichungen

Zylinder: σθ = pr/t, σz = pr/(2t)
Kugel: σθ = σφ = pr/(2t); σvm = sqrt(σθ² − σθσz + σz²)

Häufige Fragen

Warum ist die Umfangsspannung im Zylinder doppelt so groß wie die Längsspannung?
Der Längsschnitt wird von der Wandfläche 2tL gehalten, daher σθ = pr/t. Die Kraft auf den Deckel wird von der Ringfläche 2πrt gehalten, daher σz = pr/(2t).
Wann werden die dünnwandigen Formeln ungenau?
Häufige Regel: r/t ≥ 10. Darunter ändert sich die Spannung merklich über die Wanddicke, und besser sind die Lamé-Gleichungen für das dickwandige Rohr.
Warum ist die Kugel günstiger als der Zylinder?
In der Kugel wirken zwei gleiche Membranspannungen pr/(2t). Im Zylinder ist die Umfangsspannung doppelt so groß; bei gleichem p, r und t liegt σ_vm daher höher.