Warum zerfließt das Paket, obwohl keine Kraft wirkt?

Nicht wegen einer Kraft, sondern wegen der Dispersion. Das Paket ist eine Superposition ebener Wellen mit verschiedenem p; die Phasengeschwindigkeit des freien Teilchens hängt von p ab, die Komponenten laufen auseinander, die Verteilung in x wird breiter.

Was bedeutet ℏ = m = 1?

Modell-Einheiten: die Konstanten fallen aus den Formeln, damit die Abhängigkeiten sichtbar bleiben. Für den Übergang zu SI setzt man die echten Werte von ℏ und der Masse ein.

Wie hängt k₀ mit der Bewegung des Pakets zusammen?

Der mittlere Impuls ist ⟨p⟩ = ℏk₀, die Gruppengeschwindigkeit des Schwerpunkts v_g = ℏk₀/m. Größeres k₀ trägt das Maximum des Pakets schneller, das Zerfließen bestimmt aber die Breite in p, nicht das mittlere k₀.

Kann ein freies Paket aufhören zu zerfließen?

Nein: σ(t) wächst unbegrenzt. Anhalten oder Umkehren des Zerfließens kann ein äußeres Potenzial, etwa der harmonische Oszillator (kohärente Zustände). Hier ist das Potenzial null.

Gaußsches Wellenpaket

Freies Zerfließen: Breite σ(t) aus der Dispersion bei ℏ = m = 1; Orts- und Impulsunschärfe.

Zum Modell

Ein Gaußsches Wellenpaket ist ein lokalisiertes freies Teilchen: Anfangsbreite σ₀ und mittlere Wellenzahl k₀, ein Zustand minimaler Unschärfe. Auch ohne Potenzial zerfließt das Paket: die Dispersion des freien Teilchens E = p²/2m lässt Fourier-Komponenten mit unterschiedlicher Phasengeschwindigkeit laufen. Die Breite ist σ(t) = σ₀ √(1 + (ℏt /(2mσ₀²))²); hier ℏ = m = 1. Je schmaler das Paket im Ort, desto breiter die Impulsverteilung und desto schneller das Zerfließen — Folge von σ_x σ_p ≥ ℏ/2. Die Gruppengeschwindigkeit des Schwerpunkts hängt am mittleren Impuls ⟨p⟩ = ℏk₀. Eine ebene Welle mit scharfem p zerfließt nicht, ist aber nicht lokalisiert.

Für wen: Einführung in die Quantenmechanik: Wellenpakete und Unschärferelation.

Wichtige Begriffe

wellenpaket
Schrödinger-Gleichung
unschärferelation
zerfließen des Wellenpakets
dispersionsrelation
gruppengeschwindigkeit
Fourier-Transformation

So funktioniert es

Freies Gauß-Paket bei ℏ = m = 1: je schmaler die Anfangslokalisierung, desto breiter die Impulsverteilung und desto schneller wächst σ(t). Die gestrichelten Linien markieren ±σ; die Dichte |ψ|² bleibt gaußförmig.

Häufige Fragen

Warum zerfließt das Paket, obwohl keine Kraft wirkt?: Nicht wegen einer Kraft, sondern wegen der Dispersion. Das Paket ist eine Superposition ebener Wellen mit verschiedenem p; die Phasengeschwindigkeit des freien Teilchens hängt von p ab, die Komponenten laufen auseinander, die Verteilung in x wird breiter.
Was bedeutet ℏ = m = 1?: Modell-Einheiten: die Konstanten fallen aus den Formeln, damit die Abhängigkeiten sichtbar bleiben. Für den Übergang zu SI setzt man die echten Werte von ℏ und der Masse ein.
Wie hängt k₀ mit der Bewegung des Pakets zusammen?: Der mittlere Impuls ist ⟨p⟩ = ℏk₀, die Gruppengeschwindigkeit des Schwerpunkts v_g = ℏk₀/m. Größeres k₀ trägt das Maximum des Pakets schneller, das Zerfließen bestimmt aber die Breite in p, nicht das mittlere k₀.
Kann ein freies Paket aufhören zu zerfließen?: Nein: σ(t) wächst unbegrenzt. Anhalten oder Umkehren des Zerfließens kann ein äußeres Potenzial, etwa der harmonische Oszillator (kohärente Zustände). Hier ist das Potenzial null.

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