Quasiewahrscheinlichkeit W(x, p) im Phasenraum für einen gaußschen Einmodenzustand: kohärent |α⟩, verschoben-gequetscht D(α)S(ξ)|0⟩ und thermisch. Die 1σ-Ellipse dreht sich um die halbe Quetschphase und wird unter die Vakuumgrenze in einer Quadratur zusammengedrückt.
Zum Modell
Die Wigner-Funktion W(x, p) ist die Quasiewahrscheinlichkeit im Phasenraum für einen gaußschen Einmodenzustand des harmonischen Oszillators. Drei Familien sind zugänglich: kohärent |α⟩, verschobenes gequetschtes Vakuum D(α)S(ξ)|0⟩ und thermisch. Für Gauß-Zustände ist W selbst gaußsch: die 1σ-Ellipse dreht sich um die halbe Quetschphase θ/2 und kann in einer Quadratur unter die Vakuumgrenze gedrückt werden — das Grundbild der Quantenoptik mit kontinuierlichen Variablen. Das Modell ist streng einmodig und gaußsch: keine Nichtgaußizität der Photonenzahl, keine Mehrmodenverschränkung, keine Verluste und keine nichtidealen Detektoren. Variiert werden die Amplitude α, die Quetschparameter in ξ = r e^{iθ} und die thermische Besetzung: Verschiebung, Drehung und Streckung der Wigner-Ellipse relativ zum Vakuumkreis.
Für wen: Höhere Semester und Master: Quantenoptik, Quanteninformation mit kontinuierlichen Variablen, physikalische Chemie von Oszillatormoden.
Wichtige Begriffe
Wigner-Funktion
kohärenter Zustand
gequetschter Zustand
Phasenraum
Quasiewahrscheinlichkeit
kontinuierliche Variablen
So funktioniert es
Die Wigner-Funktion W(x, p) eines gaußschen Einmodenzustands ist ein nichtnegativer Gauß-Fleck in der Phasenebene. Kohärentes |α⟩ gibt einen um (⟨x⟩, ⟨p⟩) verschobenen Kreis; die Quetschung S(ξ) mit ξ = r e^{iθ} streckt die 1σ-Ellipse und dreht sie um θ/2; der thermische Zustand bläht den Fleck auf. Auf dem Bildschirm die Kontur relativ zum Vakuumkreis; nichtgaußsche Zustände mit negativem W gehören nicht zum Modell.
Häufige Fragen
Kann die Wigner-Funktion hier negativ werden?
Für die Zustände dieses Modells nicht. Reine Gauß-Zustände (kohärent, verschoben-gequetscht und thermische Gauß-Gemische) haben nichtnegatives W. Negativität tritt bei nichtgaußschen Zuständen auf, etwa Fock |n⟩ mit n ≥ 1 oder Schrödinger-Katzen; die fehlen in der einmodigen Gauß-Darstellung.
Warum dreht sich die Quetsch-Ellipse um θ/2 und nicht um θ?
Den Quetschoperator schreibt man S(ξ) mit ξ = r e^{iθ}. In der Ebene (x, p) stehen die Hauptachsen der Unschärfeellipse unter dem Winkel θ/2; eine Drehung der Quetschphase um θ dreht die lange und die kurze Achse also um die Hälfte. Ein häufiger Fehler ist, θ direkt mit dem gezeichneten Ellipsenwinkel gleichzusetzen.
Was heißt „Quetschung unter die Vakuumgrenze“?
Im Vakuum sind die Quadraturvarianzen gleich der Heisenberg-Grenze. Quetschung senkt das Rauschen in einer Quadratur unter dieses Niveau; die konjugierte Quadratur wird aufgeweitet, sodass das Produkt weiter die Unschärferelation erfüllt. Die 1σ-Kontur wird zur gestreckten Ellipse und greift entlang der gequetschten Achse in den Vakuumkreis ein.