¿Por qué r es casi cero en la parábola aunque y está del todo determinada por x?

La r de Pearson solo mide la asociación lineal: hasta qué punto una recta describe la nube. Para y = x² en un intervalo simétrico, los puntos con x negativa caen en el cuadrante −+ y los de x positiva en el ++, así que los productos positivos y negativos (x − x̄)(y − ȳ) se cancelan y la covarianza queda cerca de cero. La relación es perfecta, pero no es lineal, así que r no puede verla. Mirar el diagrama de dispersión antes de fiarse de r es imprescindible; una razón de correlación o una medida basada en rangos detectaría esta dependencia, y la r de Pearson no.

¿Cómo puede un solo punto cambiar r de 0 a 0,6?

Cada término de la covarianza es un producto de dos desviaciones respecto de las medias, así que un punto lejos de las dos medias aporta un producto enorme, mientras que los puntos corrientes aportan productos pequeños. Con una nube sin correlación, de varianza cercana a 1, y un punto en (a, a), la correlación vale aproximadamente a² / (N + a²); si a² = 1,5 N eso es cerca de 0,6 sea cual sea N. Ese mismo punto también infla s_x y s_y, pero la covarianza crece más deprisa. Por eso se dice que r no es robusta: un error de medida o un caso especial puede dominar el número, y conviene revisar esos puntos antes de interpretar r.

¿Qué diferencia hay entre la covarianza y la correlación?

La covarianza s_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)/(N − 1) lleva las unidades de x por las de y, así que su tamaño depende de la escala de medida: medir la estatura en centímetros en vez de en metros la multiplica por 100. Dividir por las dos desviaciones estándar quita las unidades y da r = s_xy / (s_x s_y), que queda siempre entre −1 y +1 y no cambia con ningún cambio de escala lineal de x o de y. La covarianza dice el signo y la intensidad bruta de la variación conjunta; la correlación la pone en una escala común, comparable entre conjuntos de datos.

Si dos magnitudes tienen r = 0,9, ¿una causa a la otra?

No. La correlación describe cómo varían juntos dos conjuntos de números, no por qué. Una r alta es compatible con que x cause y, con que y cause x, con que a las dos las mueva una tercera variable (las ventas de helado y los ahogamientos suben en verano) o con un efecto de selección en el modo en que se recogieron los datos. El preajuste de los dos grupos muestra otra trampa: r ≈ 0,96 aparece solo porque los dos grupos difieren en las dos variables, mientras que dentro de cada grupo no hay relación alguna. Establecer la causalidad exige un experimento controlado o un argumento causal cuidadoso, no un coeficiente de correlación.

Correlación de Pearson

Nube de puntos con r ajustable, elipse de covarianza y un preajuste de parábola en el que r ≈ 0 pese a una relación perfecta.

Nube de puntos

Correlación objetivo ρ0.7

Número de puntos N100

Preajustes (sustituyen al generador)

Mostrar elipse de covarianza 1σMostrar recta de mínimos cuadrados

Los puntos salen de una distribución normal bivariante de varianzas unitarias: x ~ N(0, 1), y = ρx + √(1−ρ²)·ε con ε ~ N(0, 1), así que la correlación poblacional es exactamente ρ y la r muestral se dispersa a su alrededor. Los preajustes sustituyen este generador; mover el deslizador de ρ vuelve a él. r solo mide la asociación lineal; una parábola puede dar r ≈ 0, un valor atípico puede alejar r del resto de los datos, y la correlación nunca muestra causalidad. Arrastre cualquier punto o haga clic en el vacío para añadir uno: r se actualiza al momento.

Atajos de teclado

Space / Enter — nube aleatoria nueva (mismos ajustes)
R — reiniciar a los valores por defecto
Arrastre un punto · clic en el vacío para añadir un punto

Magnitudes medidas

Puntos N0

r de Pearson—

r²—

Covarianza s_xy—

DE s_x—

DE s_y—

Puntos en cuadrantes ++ / −−0

Puntos en cuadrantes +− / −+0

Sobre el modelo

El simulador dibuja una nube de N puntos y muestra el coeficiente de correlación de Pearson muestral. Por defecto los puntos salen de una distribución normal bivariante de varianzas unitarias: x ~ N(0, 1), ε ~ N(0, 1) e y = ρx + √(1 − ρ²)·ε, la construcción de Cholesky en un paso, de modo que la correlación poblacional de x e y es exactamente el valor ρ del deslizador. El valor muestral r se calcula con la fórmula habitual y medias en dos pasadas: primero x̄ = Σxᵢ/N y ȳ = Σyᵢ/N, y luego r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √(Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²). Los indicadores dan también la covarianza muestral s_xy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)/(N − 1), las desviaciones estándar muestrales s_x y s_y con el mismo denominador N − 1, r² y, cuando la recta está activada, la pendiente de mínimos cuadrados b = s_xy / s_x² = r·s_y/s_x. Las líneas discontinuas de las medias parten el plano en cuatro cuadrantes; un punto del cuadrante ++ o −− aporta un término positivo (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) a la covarianza y se dibuja en cian, un punto del cuadrante +− o −+ aporta un término negativo y se dibuja en rosa, y se muestran los recuentos de los dos grupos. La elipse verde es el contorno 1σ de la normal bivariante ajustada: sus ejes son las raíces cuadradas de los valores propios de la matriz de covarianza [[s_x², s_xy], [s_xy, s_y²]] y su inclinación es θ = ½·atan2(2s_xy, s_x² − s_y²). Los preajustes sustituyen el generador por casos que muestran los límites de r: una parábola y = x² con x ∈ [−1, 1] y un ruido pequeño, en la que y es una función determinista de x y aun así r ≈ 0; una nube sin correlación más un único punto lejano en (√(1,5N); √(1,5N)), que por sí solo sube r hasta cerca de 0,6; y dos grupos compactos, sin correlación en su interior, cuya separación produce r ≈ 0,96. Los puntos se pueden arrastrar y añadir con un clic, y cada estadístico se recalcula de forma exacta en cada cambio. Simplificaciones: no se muestra inferencia (ni valor p ni intervalo de confianza para r, ni la transformación z de Fisher); la recta de regresión es solo una capa superpuesta —el propio ajuste por mínimos cuadrados se trata en math/least-squares y la bondad del ajuste en math/linear-regression-metrics— y la gráfica adapta la escala a los datos, así que la elipse puede verse circular o delgada según los rangos de los ejes. Simuladores relacionados: statistics/normal-distribution para la distribución marginal de x y de y, statistics/central-limit-theorem para por qué las medias de muchos puntos se comportan de forma normal.

Para quién: Secundaria superior (cursos 10–12) y estadística introductoria de primer curso; también sirve para cursos de fundamentos de ciencia de datos.

Conceptos clave

coeficiente de correlación de Pearson r
covarianza
desviación estándar
asociación lineal
coeficiente de determinación r²
valor atípico
distribución normal bivariante
correlación y causalidad

Cómo funciona

El coeficiente de correlación de Pearson r mide lo ceñida que va una nube de puntos a una recta: r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / √(Σ(x − x̄)² · Σ(y − ȳ)²), siempre entre −1 y 1. Las líneas discontinuas marcan las medias x̄ y ȳ; un punto del cuadrante ++ o −− (cian) aporta un producto positivo a la covarianza, uno del cuadrante +− o −+ (rosa) uno negativo, y r es simplemente la covarianza dividida por las dos desviaciones estándar. La elipse 1σ verde está inclinada por la covarianza y se vuelve una diagonal fina cuando |r| → 1. r describe solo la asociación lineal: el preajuste Parábola es una relación perfecta y = x² con r ≈ 0, un único valor atípico lejano puede llevar r de 0 a 0,6, y dos grupos separados dan una r alta sin relación dentro de ninguno. Una r alta nunca muestra por sí sola que x cause y.

Fórmulas principales

r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √( Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)² ) = s_xy / (s_x s_y)

s_xy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / (N − 1), s_x² = Σ(xᵢ − x̄)² / (N − 1)

generador: x ~ N(0, 1), ε ~ N(0, 1), y = ρx + √(1 − ρ²) ε ⇒ corr(x, y) = ρ

pendiente de mínimos cuadrados b = s_xy / s_x² = r · s_y / s_x

elipse 1σ: ejes √λ₁, √λ₂ de la matriz de covarianza [[s_x², s_xy], [s_xy, s_y²]], inclinación θ = ½·atan2(2 s_xy, s_x² − s_y²)

Preguntas frecuentes

¿Por qué r es casi cero en la parábola aunque y está del todo determinada por x?: La r de Pearson solo mide la asociación lineal: hasta qué punto una recta describe la nube. Para y = x² en un intervalo simétrico, los puntos con x negativa caen en el cuadrante −+ y los de x positiva en el ++, así que los productos positivos y negativos (x − x̄)(y − ȳ) se cancelan y la covarianza queda cerca de cero. La relación es perfecta, pero no es lineal, así que r no puede verla. Mirar el diagrama de dispersión antes de fiarse de r es imprescindible; una razón de correlación o una medida basada en rangos detectaría esta dependencia, y la r de Pearson no.
¿Cómo puede un solo punto cambiar r de 0 a 0,6?: Cada término de la covarianza es un producto de dos desviaciones respecto de las medias, así que un punto lejos de las dos medias aporta un producto enorme, mientras que los puntos corrientes aportan productos pequeños. Con una nube sin correlación, de varianza cercana a 1, y un punto en (a, a), la correlación vale aproximadamente a² / (N + a²); si a² = 1,5 N eso es cerca de 0,6 sea cual sea N. Ese mismo punto también infla s_x y s_y, pero la covarianza crece más deprisa. Por eso se dice que r no es robusta: un error de medida o un caso especial puede dominar el número, y conviene revisar esos puntos antes de interpretar r.
¿Qué diferencia hay entre la covarianza y la correlación?: La covarianza s_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)/(N − 1) lleva las unidades de x por las de y, así que su tamaño depende de la escala de medida: medir la estatura en centímetros en vez de en metros la multiplica por 100. Dividir por las dos desviaciones estándar quita las unidades y da r = s_xy / (s_x s_y), que queda siempre entre −1 y +1 y no cambia con ningún cambio de escala lineal de x o de y. La covarianza dice el signo y la intensidad bruta de la variación conjunta; la correlación la pone en una escala común, comparable entre conjuntos de datos.
Si dos magnitudes tienen r = 0,9, ¿una causa a la otra?: No. La correlación describe cómo varían juntos dos conjuntos de números, no por qué. Una r alta es compatible con que x cause y, con que y cause x, con que a las dos las mueva una tercera variable (las ventas de helado y los ahogamientos suben en verano) o con un efecto de selección en el modo en que se recogieron los datos. El preajuste de los dos grupos muestra otra trampa: r ≈ 0,96 aparece solo porque los dos grupos difieren en las dos variables, mientras que dentro de cada grupo no hay relación alguna. Establecer la causalidad exige un experimento controlado o un argumento causal cuidadoso, no un coeficiente de correlación.

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