¿Por qué la puntuación de CI 115 tiene el mismo percentil que la puntuación SAT 1250?

Las dos están exactamente una desviación estándar por encima de su media: (115 − 100)/15 = 1 y (1250 − 1050)/200 = 1. La puntuación z quita las unidades y la escala, y deja solo a cuántas desviaciones estándar está un valor del centro. Toda distribución normal tiene la misma forma en unidades z, así que una sola tabla de Φ(z) vale para todas. Φ(1) = 0,8413, de modo que las dos puntuaciones quedan en el percentil 84,13.

Si el 95 % de los valores cae dentro de ±2σ, ¿por qué el intervalo del 95 % de dos colas usa z = 1,96 y no 2?

La cifra ±2σ es una regla redondeada: la probabilidad exacta dentro de ±2σ es el 95,45 %, no el 95 %. Al resolver Φ(z) = 0,975 con la normal inversa sale z = 1,95996…, así que el 95 % central queda entre −1,96σ y +1,96σ y cada cola contiene exactamente el 2,5 %. Del mismo modo, el intervalo exacto del 99 % usa 2,576, no 3; ±3σ contiene el 99,73 %. La regla 68–95–99.7 sirve para el cálculo mental, y la normal inversa da los cortes exactos.

¿Por qué la probabilidad de que X valga un número concreto, por ejemplo exactamente 100, es cero?

En una variable continua, la probabilidad es el área bajo la curva de densidad, y un solo punto tiene ancho cero y por tanto área cero. P(X = 100) = 0 aunque 100 sea la zona más probable, en el sentido de que ahí la densidad es máxima. Las preguntas con sentido son las de intervalos: P(99,5 < X < 100,5) ≈ 0,0266 para las puntuaciones de CI. Por eso P(X < x) y P(X ≤ x) son el mismo número en una variable normal, y por eso las áreas de la cola izquierda, de la cola derecha y del intervalo suman siempre 1.

Cuando suelto 200 puntos, ¿por qué no obtengo exactamente 136 dentro de ±1σ (el 68,27 % de 200)?

Cada punto cae dentro de ±1σ de forma independiente con probabilidad 0,6827, así que el recuento es una variable binomial de media 136,5 y desviación estándar √(200 × 0,6827 × 0,3173) ≈ 6,6. Por tanto, recuentos entre unos 123 y 150 son resultados habituales, y la proporción observada se dispersa unos ±3 puntos porcentuales alrededor del 68,3 %. La regla describe el límite de una muestra muy grande, no una muestra concreta; con n = 20 000 la dispersión bajaría a unos ±0,3 puntos. Es la ley de los grandes números en acción.

Distribución normal y puntuaciones z

Q: Cuando suelto 200 puntos, ¿por qué no obtengo exactamente 136 dentro de ±1σ (el 68,27 % de 200)?

Cada punto cae dentro de ±1σ de forma independiente con probabilidad 0,6827, así que el recuento es una variable binomial de media 136,5 y desviación estándar √(200 × 0,6827 × 0,3173) ≈ 6,6. Por tanto, recuentos entre unos 123 y 150 son resultados habituales, y la proporción observada se dispersa unos ±3 puntos porcentuales alrededor del 68,3 %. La regla describe el límite de una muestra muy grande, no una muestra concreta; con n = 20 000 la dispersión bajaría a unos ±0,3 puntos. Es la ley de los grandes números en acción.

Campana con μ y σ; colas sombreadas, la regla 68–95–99.7 y un conversor de puntuación z incorporado, x → z = (x − μ)/σ.

Campana N(μ, σ²)

Media μ100

Desviación estándar σ15

Área sombreada

Mostrar bandas 68–95–99.7

Conversor de puntuación z

x (valor original)Percentil (%)

x, el percentil y el marcador rosa son el mismo valor: edite cualquiera y los demás siguen.

Φ(z) se calcula a partir de la función de error con la aproximación racional de Cody (error relativo por debajo de 10⁻¹⁵) y la inversa con el algoritmo de Acklam más un refinamiento de Halley. Los 200 puntos soltados son extracciones exactas de N(μ, σ²) (Box–Muller) y se guardan como puntuaciones z, así que se mueven con la curva al cambiar μ o σ. La ventana muestra siempre μ ± 4σ.

Atajos de teclado

Space / Enter — soltar 200 puntos
R — reiniciar
Arrastre el marcador rosa del gráfico para mover x (y b)

Magnitudes medidas

Media μ100.0

Desviación estándar σ15.0

x115.0

z = (x − μ)/σ1.000

Probabilidad sombreada P(X < x)0.84134

Percentil de x = 100·Φ(z)84.13%

Sobre el modelo

El simulador dibuja la densidad de una variable aleatoria normal (gaussiana) X ~ N(μ, σ²), f(x) = exp(−(x − μ)²/(2σ²)) / (σ√(2π)), en la ventana μ ± 4σ. La media μ fija la posición del pico y la desviación estándar σ su ancho; el área bajo toda la curva vale 1, así que cualquier parte sombreada es una probabilidad. Debajo del eje x de los valores originales, un segundo eje muestra las mismas posiciones como puntuaciones z, z = (x − μ)/σ, que llevan cualquier distribución normal a la normal estándar N(0, 1). Todas las probabilidades se calculan con la función de distribución acumulada de la normal estándar Φ(z) = ½·erfc(−z/√2), evaluada con la aproximación racional de Chebyshev de W. J. Cody de la función de error complementaria (error relativo por debajo de 10⁻¹⁵, muy por dentro del 10⁻⁷ que hace falta para coincidir con las tablas de z impresas en todas las cifras). Hay cuatro modos de sombreado: la cola izquierda P(X < x) = Φ(z); la cola derecha P(X > x) = 1 − Φ(z); la probabilidad de dos colas P(|Z| > |z|) = 2(1 − Φ(|z|)), la cantidad que se usa en pruebas de dos colas e intervalos de confianza; y el intervalo P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a). El marcador del gráfico, el campo x y el campo del percentil son el mismo estado, así que el conversor funciona en los dos sentidos: x → z → percentil 100·Φ(z), y percentil → z → x = μ + zσ. La inversa Φ⁻¹ usa la aproximación racional de P. J. Acklam seguida de un paso de refinamiento de Halley con la Φ precisa, lo que la lleva a precisión doble completa (Φ⁻¹(0,975) = 1,959964…). Las bandas 68–95–99.7 sombrean ±1σ, ±2σ y ±3σ y etiquetan cada franja con su parte exacta (34,1 %, 13,6 %, 2,1 %, 0,1 %); los totales exactos son 68,27 %, 95,45 % y 99,73 %. Al pulsar «Soltar 200 puntos» se extraen 200 valores independientes de N(μ, σ²) con la transformación de Box–Muller en un generador con semilla y se muestran como un diagrama de puntos de colores sobre el eje; los indicadores cuentan cuántos cayeron dentro de ±1σ, ±2σ y ±3σ para comprobar la regla con una muestra finita, que se dispersa alrededor de las proporciones teóricas unos ±3 puntos porcentuales cuando n = 200. Simplificaciones: el modelo es la normal continua ideal, sin truncamiento, redondeo ni carácter discreto, así que las puntuaciones reales de CI o del SAT, enteros en una escala acotada, solo la siguen de forma aproximada; los puntos de la muestra se sustituyen en cada soltado y no se acumulan. Simuladores relacionados en este sitio: statistics/galton-board y statistics/binomial-distribution (cómo surge la campana a partir de muchos pasos aleatorios pequeños), statistics/law-of-large-numbers, statistics/confidence-interval y statistics/p-value (que usan las áreas de dos colas y de una cola dibujadas aquí) y statistics/type-i-ii-errors-power.

Para quién: Bachillerato y primer curso universitario de estadística (AP Statistics, A-level y probabilidad introductoria).

Conceptos clave

distribución normal
media μ y desviación estándar σ
puntuación z
normal estándar Φ(z)
percentil
regla 68–95–99.7
probabilidad de cola
normal inversa (cuantil)

Cómo funciona

La distribución normal N(μ, σ²) es la densidad en forma de campana f(x) = exp(−(x − μ)²/2σ²)/(σ√(2π)); μ fija el centro y σ el ancho. Toda variable normal se convierte en la normal estándar mediante la puntuación z z = (x − μ)/σ, y por eso una sola tabla de Φ(z) sirve igual para puntuaciones de CI, estaturas y resultados del SAT. El área sombreada bajo la curva es una probabilidad: la cola izquierda P(X < x) = Φ(z), la cola derecha 1 − Φ(z), la de dos colas P(|Z| > z) = 2(1 − Φ(|z|)) y P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a). La regla 68–95–99.7 dice que el 68,27 %, el 95,45 % y el 99,73 % de la probabilidad queda dentro de ±1σ, ±2σ y ±3σ; soltar 200 puntos al azar muestra cuánto se acerca una muestra real. La curva en sí no se acaba, así que ningún intervalo tiene probabilidad exactamente 1: solo la muestra es finita.

Fórmulas principales

f(x) = 1/(σ√(2π)) · exp(−(x − μ)² / (2σ²))

z = (x − μ) / σ ⇔ x = μ + zσ

P(X < x) = Φ(z) = ½ · erfc(−z/√2) · P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a)

P(|Z| ≤ 1) = 0,6827 P(|Z| ≤ 2) = 0,9545 P(|Z| ≤ 3) = 0,9973

percentil p → z = Φ⁻¹(p/100), p. ej. Φ⁻¹(0,975) = 1,95996

Preguntas frecuentes

¿Por qué la puntuación de CI 115 tiene el mismo percentil que la puntuación SAT 1250?: Las dos están exactamente una desviación estándar por encima de su media: (115 − 100)/15 = 1 y (1250 − 1050)/200 = 1. La puntuación z quita las unidades y la escala, y deja solo a cuántas desviaciones estándar está un valor del centro. Toda distribución normal tiene la misma forma en unidades z, así que una sola tabla de Φ(z) vale para todas. Φ(1) = 0,8413, de modo que las dos puntuaciones quedan en el percentil 84,13.
Si el 95 % de los valores cae dentro de ±2σ, ¿por qué el intervalo del 95 % de dos colas usa z = 1,96 y no 2?: La cifra ±2σ es una regla redondeada: la probabilidad exacta dentro de ±2σ es el 95,45 %, no el 95 %. Al resolver Φ(z) = 0,975 con la normal inversa sale z = 1,95996…, así que el 95 % central queda entre −1,96σ y +1,96σ y cada cola contiene exactamente el 2,5 %. Del mismo modo, el intervalo exacto del 99 % usa 2,576, no 3; ±3σ contiene el 99,73 %. La regla 68–95–99.7 sirve para el cálculo mental, y la normal inversa da los cortes exactos.
¿Por qué la probabilidad de que X valga un número concreto, por ejemplo exactamente 100, es cero?: En una variable continua, la probabilidad es el área bajo la curva de densidad, y un solo punto tiene ancho cero y por tanto área cero. P(X = 100) = 0 aunque 100 sea la zona más probable, en el sentido de que ahí la densidad es máxima. Las preguntas con sentido son las de intervalos: P(99,5 < X < 100,5) ≈ 0,0266 para las puntuaciones de CI. Por eso P(X < x) y P(X ≤ x) son el mismo número en una variable normal, y por eso las áreas de la cola izquierda, de la cola derecha y del intervalo suman siempre 1.
Cuando suelto 200 puntos, ¿por qué no obtengo exactamente 136 dentro de ±1σ (el 68,27 % de 200)?: Cada punto cae dentro de ±1σ de forma independiente con probabilidad 0,6827, así que el recuento es una variable binomial de media 136,5 y desviación estándar √(200 × 0,6827 × 0,3173) ≈ 6,6. Por tanto, recuentos entre unos 123 y 150 son resultados habituales, y la proporción observada se dispersa unos ±3 puntos porcentuales alrededor del 68,3 %. La regla describe el límite de una muestra muy grande, no una muestra concreta; con n = 20 000 la dispersión bajaría a unos ±0,3 puntos. Es la ley de los grandes números en acción.

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