PhysSandbox

Орбиты и законы Кеплера в гравитационной песочнице

Урок на 45 минут: ученики наблюдают миниатюрную Солнечную систему и обнаруживают, что внутренние планеты движутся быстрее (третий закон Кеплера), превращают круговую орбиту в эллипс и видят, как вдоль него меняется скорость (второй закон), исследуют двойную звезду вокруг центра масс и объясняют гравитационный манёвр.

Уровень: 9–12 классы · AP Physics 1 · IB Physics SL45 минСимулятор урока: Задача N тел

Цели урока

  • Объяснять орбиту как непрерывное свободное падение: тяготение создаёт центростремительную силу, GMm/r^2 = m v^2 / r.
  • Формулировать три закона Кеплера и узнавать каждый из них в симуляции.
  • Качественно предсказывать, что будет с орбитой, если изменить скорость или силу притяжения.
  • Количественно применять третий закон Кеплера: T^2 propto r^3 для тел, обращающихся вокруг одной и той же центральной массы.

Что ученики уже должны знать

  • Закон всемирного тяготения Ньютона F = G M m / r^2.
  • Центростремительное ускорение a_c = v^2 / r (из урока о движении по окружности или из учебника).

Программа

  • NGSS HS-PS2-4
  • NGSS HS-ESS1-4
  • AP Physics 1 · Unit 3 (Circular Motion and Gravitation)
  • IB Physics · Topic D.1
  • ФГОС · Физика 9–10 класс
Разминка

1.Почему Луна не падает на Землю?

~5 мин

Ньютон спрашивал, что будет с пушечным ядром, если выпустить его горизонтально с очень высокой горы — всё быстрее и быстрее. Прежде чем открывать симулятор, решите:

В песочнице каждое тело притягивает каждое другое силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Тела оставляют короткий след из нескольких последних положений — число точек одно и то же у каждого тела, — поэтому более длинный след означает более быстрое тело. Пауза — клавиша Пробел; тело в покое добавляется щелчком по пустому месту; тела можно перетаскивать. Единицы условные: сравнивайте, ничего не пересчитывайте.

Исследование 1

2.Миниатюрная Солнечная система

~10 мин

Три лёгкие планеты обращаются вокруг тяжёлой звезды на трёх разных расстояниях. В начале у каждой ровно та скорость, которая нужна для круговой орбиты.

Задание

  1. Сравните три следа. Какая планета быстрее всех — внутренняя, средняя или внешняя?
  2. Поймайте момент, когда внутренняя и внешняя планеты выстроились по одну сторону от звезды. Посчитайте, сколько оборотов делает внутренняя, пока внешняя делает один. (Если нужно замедлить, подвиньте ползунок Масштаб времени.)
  3. Оцените по экрану отношение двух радиусов орбит. Отношение периодов больше отношения радиусов или меньше?
  4. Звезда остаётся совершенно неподвижной? Следите за маленьким крестиком, которым отмечен центр масс.

Внутренняя планета самая быстрая, внешняя — самая медленная, но путь у внешней ещё и самый длинный, поэтому период у неё гораздо больше. Внешний радиус примерно в 2.2 раза больше внутреннего, и за один оборот внешней внутренняя успевает сделать примерно 3 оборота: период растёт быстрее радиуса. Это третий закон Кеплера: T^2 propto r^3, так что T propto r^3/2 и 2.2^3/2 approx 3.3. (На очень малом расстоянии песочница сглаживает тяготение, поэтому подсчёт может выйти чуть меньше.)

Тяготение как центростремительная сила

( dfracG M mr^2 = dfracm v^2r \;Rightarrow\; v = sqrtdfracG Mr\)

Период круговой орбиты

( T = dfrac2π rv = 2π sqrtdfracr^3G M\)

Третий закон Кеплера

( dfracT^2r^3 = dfrac4π^2G M = textпостоянная для одной центральной массы\)

Исследование 2

3.Ломаем окружность: эллипсы и второй закон Кеплера

~10 мин

Две одинаковые звезды обращаются друг вокруг друга по окружностям. Ползунок G (связь) задаёт силу притяжения; звёзды запущены со скоростью, которая подходит к G = 120. Поменять G после запуска — всё равно что внезапно изменить скорость звёзд относительно той, какая нужна орбите.

Задание

  1. Сначала посмотрите несколько круговых оборотов. Где центр масс и проходит ли через него какая-нибудь из звёзд?
  2. Уменьшите G (связь) примерно до 70. Орбиты станут овалами. Проследите след одной звезды за целый оборот: где на эллипсе след длиннее всего (там быстрее) и где короче всего?
  3. Теперь поднимите G примерно до 250. Что происходит? Если звёзды сольются, нажмите Очистить, затем Загрузить двойную систему, чтобы начать сначала.
  4. Опустите G до самого низа, до 10: звёзды всё ещё на орбите или улетают?

Если притяжения мало для их скорости, звёзды уходят наружу и возвращаются уже по эллипсу (первый закон Кеплера: орбиты — эллипсы, и центр масс лежит в фокусе). Вдоль эллипса каждая звезда движется быстрее всего в ближайшей точке и медленнее всего в самой дальней — это и есть второй закон Кеплера, равные площади за равное время. Слишком сильное притяжение — и звёзды сходятся по спирали и сливаются; слишком слабое — и они уходят по незамкнутым траекториям и не возвращаются.

Первый закон Кеплера

Каждая орбита — эллипс, в одном из фокусов которого находится центр масс.

Второй закон Кеплера

Радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равное время ( Rightarrow v_textnear r_textnear = v_textfar r_textfar\)

Условие ухода

( tfrac12 m v^2 ge dfracG M mr \;Rightarrow\; v ge sqrtdfrac2 G Mr = sqrt2\, v_textcirc\)

Исследование 3

4.Падаем внутрь, пролетаем мимо, уходим с разгоном

~10 мин

Пустая песочница. Щелчок добавляет тело в покое; массу новых тел задаёт ползунок.

Задание

  1. Поставьте Масса нового тела на максимум и один раз щёлкните посередине, чтобы получить «звезду». Затем поставьте массу 20 и щёлкните где-нибудь сбоку. По какому пути движется малое тело? Почему оно не выходит на орбиту?
  2. Добавьте два малых тела в покое на одном расстоянии, но по разные стороны от звезды. Они долетят до звезды одновременно? А если одно поместить вдвое дальше?
  3. Нажмите Очистить, затем поставьте два больших тела в покое на ширину ладони друг от друга. Опишите движение. Где они встретятся?

У тела, отпущенного из покоя, нет боковой скорости, поэтому оно падает прямо на звезду: для орбиты нужна касательная скорость, а не только тяготение. Два одинаковых тела, отпущенные из покоя, падают навстречу и встречаются в своём центре масс — ровно посередине. Тяготение взаимно: по третьему закону Ньютона звезда притягивается к планете с той же силой, какую испытывает планета (просто ускорение звезды меньше, потому что она тяжелее).

И наконец готовый пролёт: маленький зонд проносится мимо тяжёлой планеты (в сцене есть и третье тело).

Задание

  1. Следите за следом малого тела: оно подлетает, огибает планету и уходит. Где скорость больше всего?
  2. Сравните след далеко *до* сближения и далеко *после*. Скорость та же, больше или меньше? Что изменилось — скорость или направление?
Разобранный пример

5.Третий закон Кеплера с настоящими числами

~5 мин

Геостационарный спутник

Геостационарный спутник облетает Землю один раз за звёздные сутки, T = 86 164 s, и остаётся над одной и той же точкой экватора. Найдите радиус орбиты и высоту над поверхностью. (G = 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², M_E = 5.97 × 10²⁴ kg, R_E = 6 371 km.)

  1. Тяготение даёт центростремительную силу: dfracG M mr^2 = m dfrac4π^2 rT^2, откуда r^3 = dfracG M T^24π^2.
  2. В числах: G M = 6.67 × 10^-11 · 5.97 × 10^24 = 3.98 × 10^14\ textm^3/texts^2; T^2 = 7.42 × 10^9\ texts^2.
  3. r^3 = dfrac3.98 × 10^14 · 7.42 × 10^939.5 = 7.48 × 10^22\ textm^3 Rightarrow r = 4.22 × 10^7\ textm = 42\,200\ textkm.
  4. Высота: h = r - R_E = 42\,200 - 6\,371 approx 35\,800\ textkm — около 5.6 радиуса Земли над поверхностью. Скорость: v = 2π r / T = 3.07\ textkm/s.

r ≈ 42 200 km, высота ≈ 35 800 km, v ≈ 3.1 km/s. Все геостационарные спутники — телевидение, погода, дополнение GPS — находятся на этом одном кольце.

Quiz

6.Проверьте себя

Ответьте на вопрос и нажмите «Проверить». Числовые ответы, снятые с симулятора, принимаются с указанной погрешностью.

1.Планета на круговой орбите находится…

2.Марс обращается вокруг Солнца в 1.52 раза дальше, чем Земля. Сколько длится марсианский год в земных годах?

yearsдопуск ±3 %

3.Спутник A обращается на радиусе r с периодом 2.0 h. Спутник B обращается вокруг той же планеты на радиусе 4r. Чему равен период B в часах?

hдопуск ±3 %

4.Комета на длинной эллиптической орбите движется быстрее всего, когда она…

5.Спутник на круговой орбите кратко включает двигатель и увеличивает скорость, не меняя направления. Какие утверждения верны? (Выберите все подходящие варианты.)

6.Две звезды одинаковой массы обращаются друг вокруг друга. Центр масс…

7.Домашнее задание

  1. «Танец» трёх тел: три одинаковые звезды начинают движение на симметричной орбите. Понаблюдайте. Движение устойчиво навсегда? Затем слегка перетащите одну звезду с её траектории и сравните. Напишите два предложения о том, почему задача трёх тел так знаменита. Открыть симулятор с этими настройками ↗
  2. В мини-системе уменьшите Масштаб времени до 0.3 и секундомером измерьте периоды внутренней и внешней планет (засеките по три оборота каждой и разделите). Вычислите T_outer / T_inner и сравните с (r_outer / r_inner)^1.5 ≈ 3.3. Предложите причину расхождения, если оно есть. Открыть симулятор с этими настройками ↗
  3. По третьему закону Кеплера найдите период обращения Международной космической станции (высота 420 km, радиус Земли 6 371 km), зная, что у геостационарного спутника при r = 42 200 km период T = 24 h. Сверьте с реальным значением — около 93 минут.

Учителю

  • Темп: разминка 5 мин, исследование 1 — 10 мин, исследование 2 — 10 мин, исследование 3 — 10 мин, разобранный пример — 5 мин, тест — 5 мин. Если времени мало, естественно остановиться на гравитационном манёвре в исследовании 3; эта часть хорошо открывает следующий урок про энергию.
  • В песочнице условные единицы и сглаженный на малых расстояниях закон силы (ползунок Сглаживание ε), поэтому отношения периодов выходят на несколько процентов ниже чистого кеплеровского значения. В тексте ученикам сказано ждать «примерно 3», а не 3.3; домашнее задание 2 просит объяснить разницу — удобный момент, чтобы сказать про сглаживание.
  • След хранит фиксированное число последних положений (ползунок Память следа), поэтому длина следа прямо показывает скорость. Это главный инструмент наблюдения в уроке — явно укажите на него до исследования 1.
  • В исследовании 2 ползунок G (связь) заменяет «изменение скорости относительно той, которая нужна орбите»: скорости нельзя править напрямую. Ученики, которые скажут, что в природе G — постоянная, правы. Превратите это в обсуждение: уменьшить G при фиксированной скорости — то же, что увеличить скорость при фиксированном G.
  • Заблуждения, на которые рассчитан урок: (1) «на орбите центробежная сила уравновешивает тяготение» — вопрос 1 теста; (2) «более тяжёлые планеты обращаются быстрее или медленнее» — в исследовании 1 массы планет разные, а на орбиту это не влияет; (3) «чтобы спутник не упал, двигатели должны всё время работать» — исследование 3 показывает обратное: нужна скорость, а не тяга.
  • На телефонах холст маленький; сцены мини-системы и двойной звезды подстраиваются под него, но для исследования 1 лучше альбомная ориентация.