PhysSandbox

Órbitas e as leis de Kepler no simulador de gravidade

Uma aula guiada de 45 minutos: os alunos observam um sistema solar em miniatura e descobrem que os planetas internos se movem mais rápido (terceira lei de Kepler), transformam uma órbita circular em elipse para ver a velocidade mudar ao longo dela (segunda lei), exploram um par de estrelas em órbita em torno do centro de massa e explicam uma manobra gravitacional.

Nível: 9.º ao 12.º ano · AP Physics 1 · IB Physics SL45 minSimulador da aula: Problema de N corpos

Objetivos de aprendizagem

  • Explicar uma órbita como queda livre contínua: a gravidade fornece a força centrípeta, GMm/r^2 = m v^2 / r.
  • Enunciar as três leis de Kepler e reconhecer cada uma delas na simulação.
  • Prever qualitativamente o que acontece com uma órbita quando a velocidade ou a atração muda.
  • Usar a terceira lei de Kepler de forma quantitativa: T^2 propto r^3 para corpos que orbitam a mesma massa central.

Pré-requisitos

  • Lei da gravitação de Newton F = G M m / r^2.
  • Aceleração centrípeta a_c = v^2 / r (da aula de movimento circular ou do livro).

Currículo

  • NGSS HS-PS2-4
  • NGSS HS-ESS1-4
  • AP Physics 1 · Unit 3 (Circular Motion and Gravitation)
  • IB Physics · Topic D.1
  • BNCC · Ensino Médio (EM13CNT)
Aquecimento

1.Por que a Lua não cai na Terra?

~5 min

Newton perguntou o que aconteceria com uma bala de canhão disparada na horizontal, do alto de uma montanha muito alta, cada vez mais rápido. Antes de abrir o simulador, decida:

No simulador, cada corpo atrai todos os outros com uma força inversamente proporcional ao quadrado da distância. Os corpos deixam um rastro curto das últimas posições — o mesmo número de pontos para cada corpo —, portanto um rastro mais longo significa um corpo mais rápido. Você pode pausar com a tecla Espaço, adicionar um corpo em repouso clicando no vazio e arrastar os corpos para movê-los. As unidades são arbitrárias: compare, não converta.

Exploração 1

2.Um sistema solar em miniatura

~10 min

Três planetas leves circundam uma estrela pesada, a três distâncias diferentes. Cada um começa exatamente com a velocidade necessária para uma órbita circular.

Sua tarefa

  1. Compare os três rastros. Qual planeta se move mais rápido — o interno, o do meio ou o externo?
  2. Escolha um instante em que os planetas interno e externo estejam alinhados do mesmo lado da estrela. Conte quantas órbitas o interno completa enquanto o externo completa uma. (Se precisar deixar tudo mais lento, use o controle Escala de tempo.)
  3. Estime na tela a razão entre os dois raios orbitais. A razão dos períodos é maior ou menor que a razão dos raios?
  4. A estrela fica perfeitamente parada? Observe a cruz pequena que marca o centro de massa.

O planeta interno é o mais rápido e o externo, o mais lento; o externo, porém, também percorre o caminho mais longo — por isso o período dele é muito maior. O raio externo é cerca de 2.2 vezes o interno, e o planeta interno completa cerca de 3 voltas a cada órbita do externo: o período cresce mais depressa que o raio. Essa é a terceira lei de Kepler: T^2 propto r^3, portanto T propto r^3/2 e 2.2^3/2 approx 3.3. (A distâncias muito pequenas o simulador suaviza a gravidade, então a sua contagem pode sair um pouco menor.)

A gravidade como força centrípeta

( dfracG M mr^2 = dfracm v^2r \;Rightarrow\; v = sqrtdfracG Mr\)

Período de uma órbita circular

( T = dfrac2π rv = 2π sqrtdfracr^3G M\)

Terceira lei de Kepler

( dfracT^2r^3 = dfrac4π^2G M = textconstante para uma mesma massa central\)

Exploração 2

3.Quebrando o círculo: elipses e a segunda lei de Kepler

~10 min

Duas estrelas iguais orbitam uma à outra em círculos. O controle G (acoplamento) define a intensidade da gravidade; as estrelas foram lançadas com a velocidade que serve para G = 120. Mudar G depois do lançamento equivale a mudar de repente a velocidade das estrelas em relação à que a órbita precisa.

Sua tarefa

  1. Observe primeiro algumas órbitas circulares. Onde fica o centro de massa, e alguma das estrelas chega a cruzá-lo?
  2. Baixe G (acoplamento) até cerca de 70. As órbitas viram ovais. Acompanhe o rastro de uma estrela numa volta completa: em que ponto da elipse o rastro é mais longo (mais rápido) e em que ponto é mais curto?
  3. Agora aumente G (acoplamento) até cerca de 250. O que acontece? Se as estrelas se fundirem, pressione Limpar e depois Carregar o sistema binário para recomeçar.
  4. Baixe G (acoplamento) até o mínimo, 10 — as estrelas ainda orbitam ou escapam?

Se a atração é fraca demais para a velocidade delas, as estrelas se afastam e voltam numa elipse (primeira lei de Kepler: as órbitas são elipses, com o centro de massa num foco). Ao longo da elipse, cada estrela fica mais rápida no ponto mais próximo e mais lenta no mais distante — é isso que diz a segunda lei de Kepler, áreas iguais em tempos iguais. Se a atração é forte demais, as estrelas espiralam para dentro e se fundem; se é fraca demais, elas escapam em trajetórias abertas e não voltam.

Primeira lei de Kepler

Cada órbita é uma elipse com o centro de massa em um dos focos.

Segunda lei de Kepler

O raio vetor do corpo em órbita varre áreas iguais em tempos iguais ( Rightarrow v_textnear r_textnear = v_textfar r_textfar\)

Condição de escape

( tfrac12 m v^2 ge dfracG M mr \;Rightarrow\; v ge sqrtdfrac2 G Mr = sqrt2\, v_textcirc\)

Exploração 3

4.Caindo para dentro, passando de raspão, saindo lançado

~10 min

Um simulador vazio. Um clique adiciona um corpo em repouso; a massa dos corpos novos é definida pelo controle.

Sua tarefa

  1. Coloque Massa do novo corpo no máximo e clique uma vez no meio para fazer uma “estrela”. Depois coloque a massa em 20 e clique em algum ponto ao lado. Que trajetória o corpo pequeno segue? Por que ele não entra em órbita?
  2. Adicione dois corpos pequenos em repouso, à mesma distância, em lados opostos da estrela. Eles chegam à estrela ao mesmo tempo? E se um deles for colocado duas vezes mais longe?
  3. Pressione Limpar e depois coloque dois corpos grandes em repouso, separados pela largura de uma mão. Descreva o movimento. Onde eles se encontram?

Um corpo solto a partir do repouso não tem velocidade lateral, então cai direto na estrela — para orbitar é preciso velocidade tangencial, não só gravidade. Dois corpos iguais soltos do repouso caem um em direção ao outro e se encontram no centro de massa, exatamente no meio. A gravidade é mútua: a terceira lei de Newton diz que a estrela é puxada na direção do planeta com a mesma força que o planeta sente (ela só acelera menos porque é mais pesada).

Por fim, um sobrevoo já montado: uma sonda pequena passa rente a um planeta pesado (há também um terceiro corpo na cena).

Sua tarefa

  1. Observe o rastro do corpo pequeno enquanto ele se aproxima, contorna e se afasta. Onde a velocidade é maior?
  2. Compare o rastro dele bem longe, *antes* do encontro, com o rastro bem longe, *depois*. A velocidade é a mesma, maior ou menor? O que mudou — a velocidade ou a direção?
Exemplo resolvido

5.A terceira lei de Kepler com números de verdade

~5 min

Um satélite geoestacionário

Um satélite geoestacionário orbita a Terra uma vez por dia sideral, T = 86 164 s, e permanece sobre o mesmo ponto do equador. Determine o raio da órbita e a altitude acima da superfície. (G = 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², M_E = 5.97 × 10²⁴ kg, R_E = 6 371 km.)

  1. A gravidade fornece a força centrípeta: dfracG M mr^2 = m dfrac4π^2 rT^2, logo r^3 = dfracG M T^24π^2.
  2. Em números: G M = 6.67 × 10^-11 · 5.97 × 10^24 = 3.98 × 10^14\ textm^3/texts^2; T^2 = 7.42 × 10^9\ texts^2.
  3. r^3 = dfrac3.98 × 10^14 · 7.42 × 10^939.5 = 7.48 × 10^22\ textm^3 Rightarrow r = 4.22 × 10^7\ textm = 42\,200\ textkm.
  4. Altitude: h = r - R_E = 42\,200 - 6\,371 approx 35\,800\ textkm — cerca de 5.6 raios terrestres acima do solo. Velocidade: v = 2π r / T = 3.07\ textkm/s.

r ≈ 42 200 km, altitude ≈ 35 800 km, v ≈ 3.1 km/s. Todo satélite geoestacionário — TV, meteorologia, complemento do GPS — fica nesse único anel.

Quiz

6.Teste seus conhecimentos

Responda a cada pergunta e clique em “Verificar”. Respostas numéricas lidas do simulador são aceitas com a tolerância indicada.

1.Um planeta em órbita circular está…

2.Marte orbita o Sol a 1.52 vezes a distância da Terra. Quanto dura o ano marciano, em anos terrestres?

yearstolerância ±3 %

3.O satélite A orbita com raio r e período 2.0 h. O satélite B orbita o mesmo planeta com raio 4r. Qual é o período de B, em horas?

htolerância ±3 %

4.Um cometa numa órbita elíptica longa se move mais rápido quando está…

5.Um satélite em órbita circular liga o motor por um instante para aumentar a velocidade (sem mudar a direção). Quais afirmações são verdadeiras? (Marque todas as que se aplicam.)

6.Duas estrelas de massas iguais orbitam uma à outra. O centro de massa fica…

7.Lição de casa

  1. “Dança de 3 corpos”: três estrelas iguais começam numa órbita simétrica. Observe por um tempo. O movimento fica estável para sempre? Depois arraste uma estrela um pouco para fora da trajetória e compare. Escreva duas frases sobre por que o problema dos três corpos é famoso. Abrir o simulador com estes ajustes ↗
  2. No minissistema solar, deixe a Escala de tempo em 0.3 e meça com um cronômetro o período dos planetas interno e externo (marque três voltas de cada um e divida). Calcule T_outer / T_inner e compare com (r_outer / r_inner)^1.5 ≈ 3.3. Sugira uma razão para qualquer diferença. Abrir o simulador com estes ajustes ↗
  3. Use a terceira lei de Kepler para achar o período orbital da Estação Espacial Internacional (altitude de 420 km, raio da Terra 6 371 km), sabendo que um satélite geoestacionário com r = 42 200 km tem T = 24 h. Confira com o valor real, cerca de 93 minutos.

Notas para o professor

  • Ritmo: Aquecimento 5 min, Exploração 1 10 min, Exploração 2 10 min, Exploração 3 10 min, exemplo resolvido 5 min, questionário 5 min. A parte da manobra gravitacional da Exploração 3 é o corte natural se o tempo apertar; ela também abre bem uma aula seguinte sobre energia.
  • O simulador usa unidades arbitrárias e uma lei de força suavizada a curta distância (o controle Suavização ε), então as razões entre períodos saem alguns por cento abaixo do valor puro de Kepler. O texto pede que os alunos esperem “cerca de 3”, e não 3.3; a lição de casa 2 pede que expliquem a diferença — bom momento para falar da suavização.
  • Os rastros guardam um número fixo de posições recentes (o controle Memória do rastro), então o comprimento do rastro indica a velocidade diretamente. Essa é a principal ferramenta de observação da aula — aponte isso de forma explícita antes da Exploração 1.
  • Na Exploração 2, o controle G (acoplamento) faz o papel de “mudar a velocidade em relação ao que a órbita precisa”, porque as velocidades não podem ser editadas diretamente. Alunos que disserem que G é uma constante na natureza têm razão — transforme isso numa discussão: diminuir G com a velocidade fixa equivale a aumentar a velocidade com G fixo.
  • Equívocos visados: (1) “a força centrífuga equilibra a gravidade na órbita” — questão 1 do questionário; (2) “planetas mais pesados orbitam mais rápido ou mais devagar” — na Exploração 1 as massas dos planetas são diferentes e isso não muda a órbita; (3) “um satélite precisa manter os motores ligados para não cair” — a Exploração 3 mostra o contrário: ele precisa de velocidade, não de empuxo.
  • No celular a tela é pequena; as cenas do minissistema e do sistema binário se ajustam a ela, mas incentive a orientação paisagem na Exploração 1.