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Orbites et lois de Kepler dans un bac à sable gravitationnel

Une leçon guidée de 45 minutes : les élèves observent un système solaire miniature et découvrent que les planètes intérieures vont plus vite (troisième loi de Kepler), transforment une orbite circulaire en ellipse pour voir la vitesse changer le long du trajet (deuxième loi), explorent une étoile double autour de son centre de masse, puis expliquent une assistance gravitationnelle.

Niveau: 3e à Terminale · AP Physics 1 · IB Physics SL45 minSimulateur de la leçon: Problème à N corps

Objectifs d’apprentissage

  • Expliquer une orbite comme une chute libre permanente : la gravitation fournit la force centripète, GMm/r^2 = m v^2 / r.
  • Énoncer les trois lois de Kepler et reconnaître chacune d’elles dans la simulation.
  • Prévoir qualitativement ce qu’il advient d’une orbite lorsque la vitesse ou l’attraction change.
  • Appliquer quantitativement la troisième loi de Kepler : T^2 propto r^3 pour des corps en orbite autour d’une même masse centrale.

Prérequis

  • Loi de la gravitation universelle de Newton F = G M m / r^2.
  • Accélération centripète a_c = v^2 / r (vue dans la leçon sur le mouvement circulaire, ou dans le manuel).

Programme

  • NGSS HS-PS2-4
  • NGSS HS-ESS1-4
  • AP Physics 1 · Unit 3 (Circular Motion and Gravitation)
  • IB Physics · Topic D.1
  • Programme de physique-chimie · Seconde/Première
Échauffement

1.Pourquoi la Lune ne tombe-t-elle pas ?

~5 min

Newton se demandait ce qu’il adviendrait d’un boulet de canon tiré horizontalement du sommet d’une très haute montagne, de plus en plus vite. Avant d’ouvrir le simulateur, décidez :

Dans le bac à sable, chaque corps attire tous les autres avec une force inversement proportionnelle au carré de la distance. Les corps laissent une courte trace de leurs dernières positions — le même nombre de points pour chaque corps — donc une trace plus longue signifie un corps plus rapide. Vous pouvez mettre en pause avec la touche Espace, ajouter un corps au repos en cliquant dans le vide, et faire glisser les corps pour les déplacer. Les unités sont arbitraires : comparez, ne convertissez pas.

Exploration 1

2.Un système solaire miniature

~10 min

Trois planètes légères tournent autour d’une étoile lourde, à trois distances différentes. Chacune part avec exactement la vitesse nécessaire à une orbite circulaire.

Votre tâche

  1. Comparez les trois traces. Quelle planète va le plus vite : l’intérieure, celle du milieu ou l’extérieure ?
  2. Repérez un instant où les planètes intérieure et extérieure sont alignées du même côté de l’étoile. Comptez combien de tours la planète intérieure accomplit pendant que l’extérieure en accomplit un. (S’il faut ralentir, utilisez le curseur Échelle de temps.)
  3. Estimez à l’écran le rapport des deux rayons orbitaux. Le rapport des périodes est-il plus grand ou plus petit que le rapport des rayons ?
  4. L’étoile reste-t-elle parfaitement immobile ? Observez la petite croix qui marque le centre de masse.

La planète intérieure est la plus rapide et l’extérieure la plus lente, mais l’extérieure parcourt aussi le plus long chemin — sa période est donc bien plus grande. Le rayon extérieur vaut environ 2.2 fois le rayon intérieur, et la planète intérieure effectue environ 3 tours pendant un tour de l’extérieure : la période croît plus vite que le rayon. C’est la troisième loi de Kepler : T^2 propto r^3, donc T propto r^3/2 et 2.2^3/2 approx 3.3. (Le bac à sable adoucit la gravitation à très courte distance, donc votre comptage peut être un peu plus faible.)

La gravitation comme force centripète

( dfracG M mr^2 = dfracm v^2r \;Rightarrow\; v = sqrtdfracG Mr\)

Période d’une orbite circulaire

( T = dfrac2π rv = 2π sqrtdfracr^3G M\)

Troisième loi de Kepler

( dfracT^2r^3 = dfrac4π^2G M = textconst pour une même masse centrale\)

Exploration 2

3.Briser le cercle : ellipses et deuxième loi de Kepler

~10 min

Deux étoiles identiques orbitent l’une autour de l’autre en décrivant des cercles. Le curseur G (couplage) règle l’intensité de la gravitation ; les étoiles ont été lancées avec la vitesse qui convient à G = 120. Modifier G après le lancement équivaut à changer soudain la vitesse des étoiles par rapport à celle que l’orbite réclame.

Votre tâche

  1. Observez d’abord quelques orbites circulaires. Où se trouve le centre de masse, et l’une ou l’autre des étoiles y passe-t-elle ?
  2. Baissez G (couplage) jusqu’à environ 70. Les orbites deviennent des ovales. Suivez la trace d’une étoile sur un tour complet : où, sur l’ellipse, la trace est-elle la plus longue (le plus rapide), et où la plus courte ?
  3. Montez maintenant G (couplage) jusqu’à environ 250. Que se passe-t-il ? Appuyez sur Effacer, puis sur Charger un système double, pour recommencer si les étoiles fusionnent.
  4. Descendez G (couplage) jusqu’à 10, tout en bas — les étoiles restent-elles en orbite, ou s’échappent-elles ?

Si l’attraction est trop faible pour leur vitesse, les étoiles s’écartent puis reviennent sur une ellipse (première loi de Kepler : les orbites sont des ellipses, avec le centre de masse en un foyer). Le long de l’ellipse, chaque étoile est la plus rapide au point le plus proche et la plus lente au point le plus éloigné — c’est la deuxième loi de Kepler, des aires égales en des temps égaux. Trop d’attraction, et les étoiles tombent en spirale puis fusionnent ; trop peu, et elles partent sur des trajectoires ouvertes sans jamais revenir.

Première loi de Kepler

Chaque orbite est une ellipse dont un foyer est le centre de masse.

Deuxième loi de Kepler

Le rayon vecteur du corps en orbite balaie des aires égales en des temps égaux ( Rightarrow v_textnear r_textnear = v_textfar r_textfar\)

Condition de libération

( tfrac12 m v^2 ge dfracG M mr \;Rightarrow\; v ge sqrtdfrac2 G Mr = sqrt2\, v_textcirc\)

Exploration 3

4.Tomber dedans, passer au large, repartir en fronde

~10 min

Un bac à sable vide. Un clic ajoute un corps au repos ; la masse des nouveaux corps se règle avec le curseur.

Votre tâche

  1. Réglez Masse du nouveau corps au maximum et cliquez une fois au milieu pour créer une « étoile ». Puis réglez la masse sur 20 et cliquez quelque part sur le côté. Quelle trajectoire suit le petit corps ? Pourquoi n’orbite-t-il pas ?
  2. Ajoutez deux petits corps au repos, à la même distance, de part et d’autre de l’étoile. Atteignent-ils l’étoile en même temps ? Et si l’un d’eux est placé deux fois plus loin ?
  3. Appuyez sur Effacer, puis placez deux gros corps au repos, écartés d’environ une largeur de main. Décrivez leur mouvement. Où se rencontrent-ils ?

Un corps lâché au repos n’a pas de vitesse latérale, il tombe donc tout droit sur l’étoile — pour orbiter, il faut une vitesse tangentielle, pas seulement la gravitation. Deux corps identiques lâchés au repos tombent l’un vers l’autre et se rencontrent en leur centre de masse, exactement à mi-chemin. La gravitation est mutuelle : d’après la troisième loi de Newton, l’étoile est attirée vers la planète avec la même force que celle subie par la planète (elle accélère moins, simplement parce qu’elle est plus lourde).

Enfin, un survol déjà prêt : une petite sonde frôle une planète lourde (un troisième corps est aussi dans la scène).

Votre tâche

  1. Observez la trace du petit corps tandis qu’il s’approche, contourne et s’éloigne. Où va-t-il le plus vite ?
  2. Comparez sa trace loin *avant* la rencontre avec sa trace loin *après*. La valeur de la vitesse est-elle la même, plus grande ou plus petite ? Qu’est-ce qui a changé — la valeur de la vitesse ou la direction ?
Exemple résolu

5.La troisième loi de Kepler avec de vrais nombres

~5 min

Un satellite géostationnaire

Un satellite géostationnaire fait le tour de la Terre une fois par jour sidéral, T = 86 164 s, en restant au-dessus du même point de l’équateur. Trouvez le rayon de son orbite et son altitude au-dessus de la surface. (G = 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², M_E = 5.97 × 10²⁴ kg, R_E = 6 371 km.)

  1. La gravitation fournit la force centripète : dfracG M mr^2 = m dfrac4π^2 rT^2, donc r^3 = dfracG M T^24π^2.
  2. Numériquement : G M = 6.67 × 10^-11 · 5.97 × 10^24 = 3.98 × 10^14\ textm^3/texts^2 ; T^2 = 7.42 × 10^9\ texts^2.
  3. r^3 = dfrac3.98 × 10^14 · 7.42 × 10^939.5 = 7.48 × 10^22\ textm^3 Rightarrow r = 4.22 × 10^7\ textm = 42\,200\ textkm.
  4. Altitude : h = r - R_E = 42\,200 - 6\,371 approx 35\,800\ textkm — environ 5.6 rayons terrestres au-dessus du sol. Vitesse : v = 2π r / T = 3.07\ textkm/s.

r ≈ 42 200 km, altitude ≈ 35 800 km, v ≈ 3.1 km/s. Tous les satellites géostationnaires — télévision, météo, augmentation du GPS — se trouvent sur cet unique anneau.

Quiz

6.Vérifiez vos acquis

Répondez à chaque question puis cliquez sur « Vérifier ». Les réponses numériques relevées dans le simulateur sont acceptées avec la tolérance indiquée.

1.Une planète en orbite circulaire est…

2.Mars orbite autour du Soleil à 1.52 fois la distance de la Terre au Soleil. Combien d’années terrestres dure l’année martienne ?

yearstolérance ±3 %

3.Le satellite A orbite au rayon r avec une période de 2.0 h. Le satellite B orbite autour de la même planète au rayon 4r. Quelle est la période de B, en heures ?

htolérance ±3 %

4.Une comète sur une longue orbite elliptique va le plus vite lorsqu’elle est…

5.Un satellite en orbite circulaire allume brièvement son moteur pour augmenter sa vitesse (sans changer de direction). Quelles affirmations sont vraies ? (Sélectionnez toutes celles qui conviennent.)

6.Deux étoiles de même masse orbitent l’une autour de l’autre. Le centre de masse est…

7.Devoirs

  1. « Danse à 3 corps » : trois étoiles identiques partent sur une orbite symétrique. Observez un moment. Le mouvement reste-t-il stable indéfiniment ? Puis faites glisser une étoile un peu hors de sa trajectoire et comparez. Rédigez deux phrases sur ce qui rend le problème à trois corps célèbre. Ouvrir le simulateur avec ces réglages ↗
  2. Dans le mini-système solaire, réglez le curseur Échelle de temps sur 0.3 et mesurez au chronomètre la période des planètes intérieure et extérieure (chronométrez trois tours de chacune, puis divisez par 3). Calculez T_outer / T_inner et comparez à (r_outer / r_inner)^1.5 ≈ 3.3. S’il y a un écart, proposez-en une raison. Ouvrir le simulateur avec ces réglages ↗
  3. À l’aide de la troisième loi de Kepler, trouvez la période orbitale de la Station spatiale internationale (altitude 420 km, rayon de la Terre 6 371 km), sachant qu’un satellite géostationnaire à r = 42 200 km a T = 24 h. Comparez à la valeur réelle, environ 93 minutes.

Notes pour l’enseignant

  • Rythme : échauffement 5 min, exploration 1 10 min, exploration 2 10 min, exploration 3 10 min, exemple résolu 5 min, quiz 5 min. Si le temps manque, laissez de côté l’assistance gravitationnelle de l’exploration 3 ; elle introduit très bien une leçon ultérieure sur l’énergie.
  • Le bac à sable utilise des unités arbitraires et une loi de force adoucie à courte distance (le curseur Adoucissement ε), si bien que les rapports de périodes sont inférieurs de quelques pour cent à la valeur de Kepler pure. Le texte demande aux élèves de s’attendre à « environ 3 » plutôt qu’à 3.3 ; le devoir 2 leur fait expliquer l’écart, et c’est le bon moment pour parler de l’adoucissement.
  • Les traces conservent un nombre fixe de positions récentes (le curseur Mémoire de la trace), donc la longueur de la trace indique directement la vitesse. C’est le principal outil d’observation de la leçon — signalez-le explicitement avant l’exploration 1.
  • Dans l’exploration 2, le curseur G (couplage) tient lieu de « changer la vitesse par rapport à celle que l’orbite réclame », parce qu’on ne peut pas modifier les vitesses directement. Les élèves qui objectent que G est une constante dans la nature ont raison — transformez cela en discussion : diminuer G à vitesse fixe équivaut à augmenter la vitesse à G fixe.
  • Conceptions erronées visées : (1) « sur orbite, la force centrifuge équilibre la gravitation » — question 1 du quiz ; (2) « les planètes plus lourdes orbitent plus vite ou plus lentement » — dans l’exploration 1, les masses des planètes diffèrent et cela ne change rien à l’orbite ; (3) « un satellite doit continuer à allumer ses moteurs pour rester en l’air » — l’exploration 3 montre le contraire : il lui faut de la vitesse, pas une poussée.
  • Sur téléphone, la zone de simulation est petite ; les scènes du mini-système et du système double s’adaptent à l’écran, mais encouragez l’orientation paysage pour l’exploration 1.