PhysSandbox

Bahnen und die Keplerschen Gesetze im Gravitations-Sandkasten

Eine 45-minütige geführte Unterrichtsstunde: Die Lernenden beobachten ein Miniatur-Sonnensystem und entdecken, dass die inneren Planeten schneller laufen (drittes Keplersches Gesetz), lösen eine Kreisbahn in eine Ellipse auf und sehen, wie sich die Geschwindigkeit längs der Bahn ändert (zweites Gesetz), untersuchen einen Doppelstern um den Massenmittelpunkt und erklären ein Gravitationsmanöver.

Stufe: Klassen 9–12 · AP Physics 1 · IB Physics SL45 Min.Simulator der Stunde: Gravitations-Sandkasten

Lernziele

  • Eine Bahn als ständigen freien Fall erklären: Die Gravitation liefert die Zentripetalkraft, GMm/r^2 = m v^2 / r.
  • Die drei Keplerschen Gesetze formulieren und jedes davon in der Simulation wiedererkennen.
  • Qualitativ vorhersagen, was mit einer Bahn geschieht, wenn sich die Geschwindigkeit oder die Anziehung ändert.
  • Das dritte Keplersche Gesetz quantitativ anwenden: T^2 propto r^3 für Körper, die dieselbe Zentralmasse umlaufen.

Voraussetzungen

  • Newtons Gravitationsgesetz F = G M m / r^2.
  • Zentripetalbeschleunigung a_c = v^2 / r (aus der Stunde zur Kreisbewegung oder aus dem Schulbuch).

Lehrplanbezug

  • NGSS HS-PS2-4
  • NGSS HS-ESS1-4
  • AP Physics 1 · Unit 3 (Circular Motion and Gravitation)
  • IB Physics · Topic D.1
  • KMK Bildungsstandards Physik
Aufwärmen

1.Warum fällt der Mond nicht herunter?

~5 Min.

Newton fragte, was mit einer Kanonenkugel geschieht, die von einem sehr hohen Berg waagerecht abgefeuert wird, immer schneller. Bevor Sie den Simulator öffnen, entscheiden Sie:

Im Sandkasten zieht jeder Körper jeden anderen mit einer Kraft an, die umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands ist. Die Körper hinterlassen eine kurze Spur aus den letzten Positionen — bei jedem Körper gleich viele Punkte —, deshalb bedeutet eine längere Spur einen schnelleren Körper. Mit der Leertaste können Sie pausieren, per Klick auf freie Fläche einen Körper in Ruhe hinzufügen und Körper ziehen, um sie zu verschieben. Die Einheiten sind willkürlich: vergleichen Sie, rechnen Sie nicht um.

Erkundung 1

2.Ein Miniatur-Sonnensystem

~10 Min.

Drei leichte Planeten umkreisen einen schweren Stern in drei verschiedenen Abständen. Jeder startet mit genau der Geschwindigkeit, die eine Kreisbahn braucht.

Deine Aufgabe

  1. Vergleichen Sie die drei Spuren. Welcher Planet bewegt sich am schnellsten — der innere, der mittlere oder der äußere?
  2. Wählen Sie einen Moment, in dem der innere und der äußere Planet auf derselben Seite des Sterns in einer Linie stehen. Zählen Sie, wie viele Umläufe der innere schafft, während der äußere einen schafft. (Wenn es zu schnell geht, verlangsamen Sie mit dem Regler Zeitmaßstab.)
  3. Schätzen Sie am Bildschirm das Verhältnis der beiden Bahnradien. Ist das Verhältnis der Umlaufzeiten größer oder kleiner als das Verhältnis der Radien?
  4. Bleibt der Stern völlig still? Achten Sie auf das kleine Kreuz, das den Massenmittelpunkt markiert.

Der innere Planet ist der schnellste, der äußere der langsamste; der äußere hat aber auch den längsten Weg — seine Umlaufzeit ist deshalb viel größer. Der äußere Radius ist etwa 2.2-mal so groß wie der innere, und der innere Planet überrundet den äußeren ungefähr 3-mal pro äußerem Umlauf: Die Umlaufzeit wächst schneller als der Radius. Das ist das dritte Keplersche Gesetz: T^2 propto r^3, also T propto r^3/2 und 2.2^3/2 approx 3.3. (Der Sandkasten glättet die Gravitation auf sehr kurze Distanz, deshalb kann Ihre Zählung etwas niedriger ausfallen.)

Gravitation als Zentripetalkraft

( dfracG M mr^2 = dfracm v^2r \;Rightarrow\; v = sqrtdfracG Mr\)

Umlaufzeit einer Kreisbahn

( T = dfrac2π rv = 2π sqrtdfracr^3G M\)

Drittes Keplersches Gesetz

( dfracT^2r^3 = dfrac4π^2G M = textkonstant für eine Zentralmasse\)

Erkundung 2

3.Die Kreisbahn aufbrechen: Ellipsen und das zweite Keplersche Gesetz

~10 Min.

Zwei Sterne gleicher Masse umlaufen einander auf Kreisbahnen. Der Regler G (Kopplung) stellt die Stärke der Gravitation ein; die Sterne starten mit der Geschwindigkeit, die zu G = 120 passt. G nach dem Start zu ändern wirkt so, als änderte man die Geschwindigkeit der Sterne plötzlich gegenüber der Geschwindigkeit, die die Bahn braucht.

Deine Aufgabe

  1. Sehen Sie sich zuerst ein paar Kreisbahnen an. Wo liegt der Massenmittelpunkt, und läuft einer der Sterne jemals durch ihn hindurch?
  2. Senken Sie G (Kopplung) auf etwa 70. Die Bahnen werden zu Ovalen. Beobachten Sie die Spur eines Sterns über einen ganzen Umlauf: Wo auf der Ellipse ist die Spur am längsten (dort am schnellsten) und wo am kürzesten?
  3. Stellen Sie G nun auf etwa 250. Was passiert? Drücken Sie Leeren und danach Doppelstern laden, um neu zu beginnen, falls die Sterne verschmelzen.
  4. Senken Sie G ganz bis auf 10 — umlaufen die Sterne einander noch, oder entkommen sie?

Ist die Anziehung für ihre Geschwindigkeit zu schwach, schwingen die Sterne nach außen und kehren auf einer Ellipse zurück (erstes Keplersches Gesetz: Bahnen sind Ellipsen, der Massenmittelpunkt liegt in einem Brennpunkt). Längs der Ellipse ist jeder Stern am nächsten Punkt am schnellsten und am fernsten Punkt am langsamsten — der Inhalt des zweiten Keplerschen Gesetzes, gleiche Flächen in gleichen Zeiten. Bei zu starker Anziehung ziehen sich die Sterne spiralförmig zusammen und verschmelzen; bei zu schwacher fliegen sie auf offenen Bahnen auseinander und kehren nicht zurück.

Erstes Keplersches Gesetz

Jede Bahn ist eine Ellipse mit dem Massenmittelpunkt in einem Brennpunkt.

Zweites Keplersches Gesetz

Der Fahrstrahl zum umlaufenden Körper überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeiten ( Rightarrow v_textnear r_textnear = v_textfar r_textfar\)

Fluchtbedingung

( tfrac12 m v^2 ge dfracG M mr \;Rightarrow\; v ge sqrtdfrac2 G Mr = sqrt2\, v_textcirc\)

Erkundung 3

4.Hineinfallen, vorbeifliegen, hinausschleudern

~10 Min.

Ein leerer Sandkasten. Ein Klick fügt einen Körper in Ruhe hinzu; die Masse neuer Körper stellt der Regler ein.

Deine Aufgabe

  1. Stellen Sie Masse des neuen Körpers auf den Maximalwert und klicken Sie einmal in die Mitte, um einen „Stern“ zu setzen. Stellen Sie die Masse dann auf 20 und klicken Sie irgendwo daneben. Welchen Weg nimmt der kleine Körper? Warum läuft er nicht auf einer Bahn um?
  2. Fügen Sie zwei kleine Körper in Ruhe im selben Abstand auf gegenüberliegenden Seiten des Sterns hinzu. Erreichen sie den Stern gleichzeitig? Was ist, wenn einer doppelt so weit entfernt steht?
  3. Drücken Sie Leeren und setzen Sie dann zwei große Körper in Ruhe, etwa eine Handbreit auseinander. Beschreiben Sie die Bewegung. Wo treffen sie sich?

Ein aus der Ruhe losgelassener Körper hat keine seitliche Geschwindigkeit, deshalb fällt er geradewegs in den Stern — für eine Bahn braucht es eine Tangentialgeschwindigkeit, nicht nur Gravitation. Zwei Körper gleicher Masse, aus der Ruhe losgelassen, fallen aufeinander zu und treffen sich in ihrem Massenmittelpunkt, genau in der Mitte. Die Anziehung ist gegenseitig: Nach dem dritten Newtonschen Gesetz zieht der Planet den Stern mit derselben Kraft, die der Planet spürt (der Stern beschleunigt nur weniger, weil er schwerer ist).

Zum Schluss ein vorgefertigter Vorbeiflug: Eine kleine Sonde streicht an einem schweren Planeten vorbei (in der Szene ist noch ein dritter Körper).

Deine Aufgabe

  1. Beobachten Sie die Spur des kleinen Körpers, während er sich nähert, herumschwingt und wieder wegfliegt. Wo ist er am schnellsten?
  2. Vergleichen Sie seine Spur weit entfernt *vor* der Begegnung mit seiner Spur weit entfernt *danach*. Ist die Geschwindigkeit gleich, größer oder kleiner? Was hat sich geändert — die Geschwindigkeit oder die Richtung?
Rechenbeispiel

5.Das dritte Keplersche Gesetz mit echten Zahlen

~5 Min.

Ein geostationärer Satellit

Ein geostationärer Satellit umläuft die Erde einmal pro Sterntag, T = 86 164 s, und bleibt über demselben Punkt des Äquators. Bestimmen Sie den Bahnradius und die Höhe über der Oberfläche. (G = 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², M_E = 5.97 × 10²⁴ kg, R_E = 6 371 km.)

  1. Die Gravitation liefert die Zentripetalkraft: dfracG M mr^2 = m dfrac4π^2 rT^2, also r^3 = dfracG M T^24π^2.
  2. In Zahlen: G M = 6.67 × 10^-11 · 5.97 × 10^24 = 3.98 × 10^14\ textm^3/texts^2; T^2 = 7.42 × 10^9\ texts^2.
  3. r^3 = dfrac3.98 × 10^14 · 7.42 × 10^939.5 = 7.48 × 10^22\ textm^3 Rightarrow r = 4.22 × 10^7\ textm = 42\,200\ textkm.
  4. Höhe: h = r - R_E = 42\,200 - 6\,371 approx 35\,800\ textkm — etwa 5.6 Erdradien über dem Boden. Geschwindigkeit: v = 2π r / T = 3.07\ textkm/s.

r ≈ 42 200 km, Höhe ≈ 35 800 km, v ≈ 3.1 km/s. Jeder geostationäre Satellit — Fernsehen, Wetter, GPS-Ergänzung — liegt auf diesem einen Ring.

Quiz

6.Überprüfe dein Wissen

Beantworte jede Frage und klicke auf „Prüfen“. Zahlenwerte, die du im Simulator abliest, werden mit der angegebenen Toleranz akzeptiert.

1.Ein Planet auf einer Kreisbahn befindet sich …

2.Mars umläuft die Sonne im 1.52-Fachen des Erdabstands. Wie lang ist das Marsjahr, in Erdjahren?

yearsToleranz ±3 %

3.Satellit A umläuft mit Radius r und Umlaufzeit 2.0 h. Satellit B umläuft denselben Planeten mit Radius 4r. Wie groß ist die Umlaufzeit von B, in Stunden?

hToleranz ±3 %

4.Ein Komet auf einer lang gestreckten Ellipsenbahn bewegt sich am schnellsten, wenn er …

5.Ein Satellit auf einer Kreisbahn zündet kurz das Triebwerk und erhöht so seine Geschwindigkeit, ohne die Richtung zu ändern. Welche Aussagen treffen zu? (Alle zutreffenden auswählen.)

6.Zwei Sterne gleicher Masse umlaufen einander. Der Massenmittelpunkt …

7.Hausaufgaben

  1. Dreikörper-Tanz: Drei gleiche Sterne starten auf einer symmetrischen Bahn. Beobachten Sie eine Weile. Ist die Bewegung für immer stabil? Ziehen Sie dann einen Stern ein wenig von seiner Bahn weg und vergleichen Sie. Schreiben Sie zwei Sätze dazu, warum das Dreikörperproblem berühmt ist. Simulator mit diesen Einstellungen öffnen ↗
  2. Stellen Sie im Miniatur-Sonnensystem den Zeitmaßstab auf 0.3 und messen Sie mit der Stoppuhr die Umlaufzeit des inneren und des äußeren Planeten (je drei Umläufe stoppen und durch drei teilen). Berechnen Sie T_outer / T_inner und vergleichen Sie mit (r_outer / r_inner)^1.5 ≈ 3.3. Nennen Sie einen Grund, falls die Werte abweichen. Simulator mit diesen Einstellungen öffnen ↗
  3. Bestimmen Sie mit dem dritten Keplerschen Gesetz die Umlaufzeit der Internationalen Raumstation (Höhe 420 km, Erdradius 6 371 km). Ein geostationärer Satellit bei r = 42 200 km hat T = 24 h. Vergleichen Sie mit dem wirklichen Wert von etwa 93 Minuten.

Hinweise für Lehrkräfte

  • Zeitplan: Aufwärmen 5 min, Erkundung 1 10 min, Erkundung 2 10 min, Erkundung 3 10 min, Rechenbeispiel 5 min, Quiz 5 min. Wenn die Zeit knapp ist, bricht man sinnvoll beim Gravitationsmanöver in Erkundung 3 ab; der Teil eignet sich auch gut als Einstieg in eine spätere Stunde zur Energie.
  • Der Sandkasten nutzt willkürliche Einheiten und ein auf kurze Distanz geglättetes Kraftgesetz (Regler Glättung ε), deshalb liegen die Verhältnisse der Umlaufzeiten einige Prozent unter dem reinen Kepler-Wert. Im Text sollen die Lernenden „ungefähr 3“ erwarten, nicht 3.3; Hausaufgabe 2 lässt den Unterschied erklären — eine gute Stelle, die Glättung zu erwähnen.
  • Spuren speichern eine feste Zahl der letzten Positionen (Regler Spurlänge), eine längere Spur zeigt also direkt eine größere Geschwindigkeit. Das ist das wichtigste Beobachtungswerkzeug der Stunde — weisen Sie vor Erkundung 1 ausdrücklich darauf hin.
  • In Erkundung 2 steht der Regler G (Kopplung) für „die Geschwindigkeit gegenüber dem ändern, was die Bahn braucht“, weil sich Geschwindigkeiten nicht direkt einstellen lassen. Wer einwendet, G sei in der Natur eine Konstante, hat recht — machen Sie ein Gespräch daraus: G bei fester Geschwindigkeit zu senken ist gleichbedeutend damit, bei festem G die Geschwindigkeit zu erhöhen.
  • Angesprochene Fehlvorstellungen: (1) „Auf der Bahn gleicht die Zentrifugalkraft die Gravitation aus“ — Quizfrage 1; (2) „schwerere Planeten laufen schneller oder langsamer“ — in Erkundung 1 unterscheiden sich die Planetenmassen, an der Bahn ändert das nichts; (3) „ein Satellit muss die Triebwerke dauernd zünden, um oben zu bleiben“ — Erkundung 3 zeigt das Gegenteil: Es braucht Geschwindigkeit, nicht Schub.
  • Auf dem Handy ist die Zeichenfläche klein; die Szenen Mini-System und Doppelstern skalieren mit, für Erkundung 1 ist aber das Querformat besser.