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Órbitas y las leyes de Kepler en el problema de N cuerpos

Lección guiada de 45 minutos: los estudiantes observan un sistema solar en miniatura y descubren que los planetas interiores se mueven más rápido (tercera ley de Kepler), rompen una órbita circular hasta dejarla en elipse para ver cómo cambia la velocidad a lo largo de ella (segunda ley), exploran una estrella binaria que orbita su centro de masa y explican una asistencia gravitatoria.

Nivel: 3.º ESO – 2.º Bachillerato · AP Physics 1 · IB Physics SL45 minSimulador de la lección: Problema de N cuerpos

Objetivos de aprendizaje

  • Explicar una órbita como una caída libre continua: la gravedad aporta la fuerza centrípeta, GMm/r^2 = m v^2 / r.
  • Enunciar las tres leyes de Kepler y reconocer cada una en la simulación.
  • Predecir de forma cualitativa qué le ocurre a una órbita cuando cambian la velocidad o la atracción.
  • Usar de forma cuantitativa la tercera ley de Kepler: T^2 propto r^3 para cuerpos que orbitan la misma masa central.

Conocimientos previos

  • Ley de gravitación de Newton F = G M m / r^2.
  • Aceleración centrípeta a_c = v^2 / r (de la lección de movimiento circular o del libro de texto).

Currículo

  • NGSS HS-PS2-4
  • NGSS HS-ESS1-4
  • AP Physics 1 · Unit 3 (Circular Motion and Gravitation)
  • IB Physics · Topic D.1
  • LOMLOE · Física y Química 4.º ESO / 1.º Bachillerato
Calentamiento

1.¿Por qué no se cae la Luna?

~5 min

Newton se preguntó qué le ocurriría a una bala de cañón disparada en horizontal desde una montaña muy alta, cada vez más deprisa. Antes de abrir el simulador, decide:

En el simulador cada cuerpo atrae a todos los demás con una fuerza del inverso del cuadrado. Los cuerpos dejan una estela corta de sus últimas posiciones —el mismo número de puntos para cada cuerpo—, así que una estela más larga significa un cuerpo más rápido. Puedes pausar con Espacio, añadir un cuerpo en reposo con un clic en el vacío y arrastrar los cuerpos para moverlos. Las unidades son arbitrarias: compara, no conviertas.

Exploración 1

2.Un sistema solar en miniatura

~10 min

Tres planetas ligeros giran alrededor de una estrella pesada a tres distancias distintas. Cada uno parte con justo la velocidad que hace falta para una órbita circular.

Tu tarea

  1. Compara las tres estelas. ¿Qué planeta se mueve más rápido: el interior, el del medio o el exterior?
  2. Elige un momento en el que el planeta interior y el exterior queden alineados al mismo lado de la estrella. Cuenta cuántas órbitas completa el interior mientras el exterior completa una. (Si hace falta, usa el deslizador Escala de tiempo para ir más despacio.)
  3. Estima en la pantalla la razón de los dos radios orbitales. ¿La razón de los períodos es mayor o menor que la razón de los radios?
  4. ¿La estrella se queda perfectamente quieta? Observa la pequeña cruz que marca el centro de masa.

El planeta interior es el más rápido y el exterior el más lento; el exterior, además, recorre el camino más largo, así que su período es mucho mayor. El radio exterior es unas 2.2 veces el interior, y el planeta interior completa unas 3 vueltas por cada órbita del exterior: el período crece más deprisa que el radio. Esa es la tercera ley de Kepler: T^2 propto r^3, de modo que T propto r^3/2 y 2.2^3/2 approx 3.3. (El simulador suaviza la gravedad a muy corta distancia, así que el recuento puede salirte un poco más bajo.)

La gravedad como fuerza centrípeta

( dfracG M mr^2 = dfracm v^2r \;Rightarrow\; v = sqrtdfracG Mr\)

Período de una órbita circular

( T = dfrac2π rv = 2π sqrtdfracr^3G M\)

Tercera ley de Kepler

( dfracT^2r^3 = dfrac4π^2G M = textconst para una misma masa central\)

Exploración 2

3.Romper el círculo: elipses y la segunda ley de Kepler

~10 min

Dos estrellas iguales orbitan una alrededor de la otra en circunferencias. El deslizador G (acoplamiento) fija la intensidad de la gravedad; las estrellas se lanzaron con la velocidad que corresponde a G = 120. Cambiar G después del lanzamiento equivale a cambiar de golpe la velocidad de las estrellas respecto de la que la órbita necesita.

Tu tarea

  1. Observa primero unas órbitas circulares. ¿Dónde está el centro de masa? ¿Lo cruza alguna de las dos estrellas?
  2. Baja G (acoplamiento) hasta unos 70. Las órbitas se vuelven óvalos. Sigue la estela de una estrella durante una vuelta completa: ¿en qué punto de la elipse es más larga (más rápido) y dónde es más corta?
  3. Ahora sube G (acoplamiento) hasta unos 250. ¿Qué ocurre? Pulsa Limpiar y luego Cargar sistema binario para empezar de nuevo si las estrellas se fusionan.
  4. Baja G (acoplamiento) del todo hasta 10: ¿las estrellas siguen en órbita o escapan?

Con poca atracción para su velocidad, las estrellas se abren hacia fuera y vuelven por una elipse (primera ley de Kepler: las órbitas son elipses, con el centro de masa en un foco). A lo largo de la elipse cada estrella va más rápido en el punto más cercano y más lento en el más lejano: eso es la segunda ley de Kepler, áreas iguales en tiempos iguales. Si la atracción es excesiva, las estrellas caen en espiral y se fusionan; si es demasiado débil, se separan por trayectorias abiertas y no regresan.

Primera ley de Kepler

Cada órbita es una elipse con el centro de masa en un foco.

Segunda ley de Kepler

El radio vector del cuerpo que orbita barre áreas iguales en tiempos iguales ( Rightarrow v_textnear r_textnear = v_textfar r_textfar\)

Condición de escape

( tfrac12 m v^2 ge dfracG M mr \;Rightarrow\; v ge sqrtdfrac2 G Mr = sqrt2\, v_textcirc\)

Exploración 3

4.Caer hacia dentro, pasar de largo, salir disparado

~10 min

Un escenario vacío. Al hacer clic se añade un cuerpo en reposo; la masa de los cuerpos nuevos la fija el deslizador Masa del cuerpo nuevo.

Tu tarea

  1. Pon Masa del cuerpo nuevo al máximo y haz un clic en el centro para crear una «estrella». Luego pon la masa en 20 y haz clic hacia un lado. ¿Qué trayectoria sigue el cuerpo pequeño? ¿Por qué no orbita?
  2. Añade dos cuerpos pequeños en reposo, a la misma distancia y en lados opuestos de la estrella. ¿Llegan a la estrella a la vez? ¿Y si uno de ellos se coloca al doble de distancia?
  3. Pulsa Limpiar y coloca dos cuerpos grandes en reposo, separados por el ancho de una mano. Describe su movimiento. ¿Dónde se encuentran?

Un cuerpo soltado desde el reposo no tiene velocidad lateral, así que cae en línea recta hacia la estrella: para orbitar hace falta velocidad tangencial, no solo gravedad. Dos cuerpos iguales soltados desde el reposo caen el uno hacia el otro y se encuentran en su centro de masa, justo en el punto medio. La gravedad es mutua: la tercera ley de Newton dice que la estrella es atraída hacia el planeta con la misma fuerza que siente el planeta (solo acelera menos porque es más masiva).

Por último, un sobrevuelo ya preparado: una sonda pequeña pasa junto a un planeta pesado (en la escena hay también un tercer cuerpo).

Tu tarea

  1. Observa la estela del cuerpo pequeño mientras se acerca, gira y se aleja. ¿Dónde va más rápido?
  2. Compara su estela lejos, *antes* del encuentro, con su estela lejos, *después*. ¿La rapidez es la misma, mayor o menor? ¿Qué cambió: la rapidez o la dirección?
Ejemplo resuelto

5.La tercera ley de Kepler con números reales

~5 min

Un satélite geoestacionario

Un satélite geoestacionario da una vuelta a la Tierra por día sidéreo, T = 86 164 s, y permanece sobre el mismo punto del ecuador. Halla el radio de su órbita y su altura sobre la superficie. (G = 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², M_E = 5.97 × 10²⁴ kg, R_E = 6 371 km.)

  1. La gravedad aporta la fuerza centrípeta: dfracG M mr^2 = m dfrac4π^2 rT^2, de modo que r^3 = dfracG M T^24π^2.
  2. Numéricamente: G M = 6.67 × 10^-11 · 5.97 × 10^24 = 3.98 × 10^14\ textm^3/texts^2; T^2 = 7.42 × 10^9\ texts^2.
  3. r^3 = dfrac3.98 × 10^14 · 7.42 × 10^939.5 = 7.48 × 10^22\ textm^3 Rightarrow r = 4.22 × 10^7\ textm = 42\,200\ textkm.
  4. Altura: h = r - R_E = 42\,200 - 6\,371 approx 35\,800\ textkm: unos 5.6 radios terrestres sobre el suelo. Rapidez: v = 2π r / T = 3.07\ textkm/s.

r ≈ 42 200 km, altura ≈ 35 800 km, v ≈ 3.1 km/s. Todo satélite geoestacionario —televisión, meteorología, aumentación del GPS— está en este único anillo.

Quiz

6.Comprueba lo aprendido

Responde cada pregunta y pulsa «Comprobar». Las respuestas numéricas leídas del simulador se aceptan con la tolerancia indicada.

1.Un planeta en órbita circular está en…

2.Marte orbita el Sol a 1.52 veces la distancia de la Tierra. ¿Cuánto dura el año marciano, en años terrestres?

yearstolerancia ±3 %

3.El satélite A orbita con radio r y período 2.0 h. El satélite B orbita el mismo planeta con radio 4r. ¿Cuál es el período de B, en horas?

htolerancia ±3 %

4.Un cometa en una órbita elíptica muy alargada se mueve más rápido cuando está…

5.Un satélite en órbita circular enciende un momento el motor para aumentar su velocidad (sin cambiar de dirección). ¿Qué afirmaciones son ciertas? (Selecciona todos los que correspondan.)

6.Dos estrellas de igual masa orbitan una alrededor de la otra. El centro de masa está…

7.Tarea para casa

  1. «Danza» de tres cuerpos: tres estrellas iguales parten en una órbita simétrica. Obsérvalas un rato. ¿El movimiento es estable para siempre? Después arrastra una estrella un poco fuera de su trayectoria y compara. Escribe dos frases sobre por qué es famoso el problema de los tres cuerpos. Abrir el simulador con estos ajustes ↗
  2. En el minisistema solar, baja la Escala de tiempo a 0.3 y mide con un cronómetro el período del planeta interior y del exterior (cronometra tres vueltas de cada uno y divide). Calcula T_outer / T_inner y compáralo con (r_outer / r_inner)^1.5 ≈ 3.3. Propón una razón para cualquier diferencia. Abrir el simulador con estos ajustes ↗
  3. Usa la tercera ley de Kepler para hallar el período orbital de la Estación Espacial Internacional (altura 420 km, radio de la Tierra 6 371 km), sabiendo que un satélite geoestacionario con r = 42 200 km tiene T = 24 h. Compáralo con el valor real, de unos 93 minutos.

Notas para el docente

  • Ritmo: Calentamiento 5 min, Exploración 1 10 min, Exploración 2 10 min, Exploración 3 10 min, ejemplo resuelto 5 min, cuestionario 5 min. Si falta tiempo, el corte natural es el sobrevuelo de la Exploración 3; también sirve para abrir después una lección sobre la energía.
  • El simulador usa unidades arbitrarias y una ley de fuerza suavizada a corta distancia (el deslizador «Suavizado ε»), así que las razones de períodos quedan unos pocos por ciento por debajo del valor puro de Kepler. El texto pide esperar «unas 3» y no 3.3; la tarea 2 pide explicar la diferencia, y es un buen momento para mencionar el suavizado.
  • Las estelas guardan un número fijo de posiciones recientes (el deslizador «Memoria de la estela»), así que su longitud indica directamente la rapidez. Es la herramienta de observación principal de la lección: conviene señalarla de forma explícita antes de la Exploración 1.
  • En la Exploración 2, el deslizador «G (acoplamiento)» hace las veces de «cambiar la velocidad respecto de la que la órbita necesita», porque la velocidad no se puede editar directamente. Quien objete que G es una constante de la naturaleza tiene razón: conviene abrir el debate. Bajar G con la velocidad fija equivale a subir la velocidad con G fija.
  • Ideas erróneas que se trabajan: (1) «en órbita la fuerza centrífuga equilibra la gravedad», pregunta 1 del cuestionario; (2) «los planetas más pesados orbitan más rápido o más lento»: en la Exploración 1 las masas de los planetas son distintas y la órbita no cambia; (3) «un satélite tiene que seguir encendiendo los motores para no caer», y la Exploración 3 muestra lo contrario: necesita velocidad, no empuje.
  • En el móvil el lienzo es pequeño; las escenas del minisistema y de la binaria se escalan con él, pero en la Exploración 1 conviene la orientación horizontal.