Por que o pacote se alarga se não há força?

Não é por uma força, e sim pela dispersão. O pacote é uma superposição de ondas planas com p diferentes; a velocidade de fase da partícula livre depende de p, as componentes se afastam e a distribuição em x fica mais larga.

O que significa ℏ = m = 1?

Unidades de modelo: as constantes saem das fórmulas para se verem as dependências. Para passar ao SI, colocam-se o ℏ verdadeiro e a massa.

Como k₀ se liga ao movimento do pacote?

O momento médio é ⟨p⟩ = ℏk₀ e a velocidade de grupo do centro é v_g = ℏk₀/m. Um k₀ maior leva o pico mais depressa, mas o alargamento vem da largura em p, não do k₀ médio.

O pacote livre pode deixar de se alargar?

Não: σ(t) cresce sem limite. Um potencial externo pode deter ou inverter o alargamento — por exemplo o oscilador harmônico (estados coerentes). Aqui o potencial é nulo.

Pacote de ondas gaussiano

Alargamento livre: largura σ(t) pela dispersão com ℏ = m = 1; incerteza da posição e do momento.

Sobre o modelo

O pacote de ondas gaussiano é uma partícula livre localizada: largura inicial σ₀ e número de onda médio k₀, estado de incerteza mínima. Mesmo sem potencial o pacote se alarga: a dispersão da partícula livre é E = p²/2m, e as componentes de Fourier viajam com velocidades de fase diferentes. A largura é σ(t) = σ₀ √(1 + (ℏt /(2mσ₀²))²); aqui ℏ = m = 1. Quanto mais estreito o pacote em posição, mais larga a distribuição em momento e mais rápido o alargamento — consequência de σ_x σ_p ≥ ℏ/2. A velocidade de grupo do centro liga-se ao momento médio ⟨p⟩ = ℏk₀. Uma onda plana com p definido não se alarga, mas não está localizada.

Para quem: Curso introdutório de mecânica quântica: pacotes de ondas e princípio da incerteza.

Conceitos-chave

pacote de ondas
equação de Schrödinger
princípio da incerteza
alargamento do pacote
relação de dispersão
velocidade de grupo
transformada de Fourier

Como funciona

Pacote gaussiano livre com ℏ = m = 1: quanto mais estreita a localização inicial, mais larga a distribuição em momento e mais depressa cresce σ(t). O tracejado marca ±σ; a densidade |ψ|² continua gaussiana.

Perguntas frequentes

Por que o pacote se alarga se não há força?: Não é por uma força, e sim pela dispersão. O pacote é uma superposição de ondas planas com p diferentes; a velocidade de fase da partícula livre depende de p, as componentes se afastam e a distribuição em x fica mais larga.
O que significa ℏ = m = 1?: Unidades de modelo: as constantes saem das fórmulas para se verem as dependências. Para passar ao SI, colocam-se o ℏ verdadeiro e a massa.
Como k₀ se liga ao movimento do pacote?: O momento médio é ⟨p⟩ = ℏk₀ e a velocidade de grupo do centro é v_g = ℏk₀/m. Um k₀ maior leva o pico mais depressa, mas o alargamento vem da largura em p, não do k₀ médio.
O pacote livre pode deixar de se alargar?: Não: σ(t) cresce sem limite. Um potencial externo pode deter ou inverter o alargamento — por exemplo o oscilador harmônico (estados coerentes). Aqui o potencial é nulo.

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