Qual velocidade é a «de verdade» — a de grupo ou a de fase?

A de fase é a de uma senoide pura, que sozinha não carrega sinal. Informação e energia vão, em geral, com a envoltória, isto é, com a velocidade de grupo. Para transmitir um sinal, é ela que costuma importar.

A velocidade de grupo pode ser maior que c, ou negativa?

Em meios com dispersão forte junto a uma ressonância — sim. Isso não fere a relatividade: ali v_g já não é a velocidade do sinal. A frente que leva informação nova não ultrapassa a luz. v_g negativa na tela: a envoltória caminha contra as cristas.

Por que só duas ondas, e não um pacote inteiro?

Duas ondas são os batimentos mais simples: veem-se depressa a portadora e a envoltória, e valem logo as definições v_g = Δω/Δk e v_p = ω̄/k̄. Um pacote estreito com um contínuo de frequências tem a mesma v_g ≈ dω/dk.

Onde essa diferença importa na prática?

Na fibra óptica a dispersão da velocidade de grupo alarga o pulso e limita a taxa de transmissão. Na água as cristas costumam atravessar o grupo mais depressa do que o próprio grupo.

Velocidade de grupo e de fase

Batimentos de duas ondas com dispersão ω(k) = ck + αk²: a envoltória vai com v_g = Δω/Δk, as cristas com v_p = ω̄/k̄.

Sobre o modelo

A velocidade de grupo e a de fase não coincidem: a de fase é a de cada crista; a de grupo, a da envoltória do pacote (e em geral a da energia). Duas senoides com k e ω próximos dão batimentos: portadora rápida e envoltória lenta. A dispersão entra pela lei ω(k) = ck + αk²; se α = 0 o meio não é dispersivo e v_g = v_p. A velocidade de fase é v_p = ω̄/k̄; a de grupo, v_g = Δω/Δk; para a lei escolhida, v_g = c + 2αk̄ e v_p = c + αk̄. Na dispersão anômala os sinais podem divergir: a envoltória caminha contra as cristas. O modelo de duas ondas monocromáticas dá batimentos perfeitamente periódicos; num pacote estreito, v_g ≈ dω/dk. Na tela, a soma e a envoltória tracejada.

Para quem: Ondas e óptica na graduação: dispersão, pacote de ondas, v_g e v_p.

Conceitos-chave

velocidade de grupo
velocidade de fase
relação de dispersão
pacote de ondas
batimentos
envoltória
onda portadora

Como funciona

A soma de duas senoides com k e ω próximos dá batimentos. A envoltória move-se com a velocidade de grupo v_g = Δω/Δk; as cristas por dentro, com a de fase v_p = ω̄/k̄. Se ω = ck elas coincidem; a dispersão ω = ck + αk² separa-as: v_g = c + 2αk̄, v_p = c + αk̄. No gráfico, a soma e a envoltória tracejada.

Fórmulas principais

η = cos(k₁x − ω₁t) + cos(k₂x − ω₂t) = 2 cos(Δk·x/2 − Δω·t/2) cos(k̄x − ω̄t)

v_g = Δω/Δk, v_p = ω̄/k̄; para ω = ck + αk²: v_g = c + 2αk̄, v_p = c + αk̄ (em k̄).

Perguntas frequentes

Qual velocidade é a «de verdade» — a de grupo ou a de fase?: A de fase é a de uma senoide pura, que sozinha não carrega sinal. Informação e energia vão, em geral, com a envoltória, isto é, com a velocidade de grupo. Para transmitir um sinal, é ela que costuma importar.
A velocidade de grupo pode ser maior que c, ou negativa?: Em meios com dispersão forte junto a uma ressonância — sim. Isso não fere a relatividade: ali v_g já não é a velocidade do sinal. A frente que leva informação nova não ultrapassa a luz. v_g negativa na tela: a envoltória caminha contra as cristas.
Por que só duas ondas, e não um pacote inteiro?: Duas ondas são os batimentos mais simples: veem-se depressa a portadora e a envoltória, e valem logo as definições v_g = Δω/Δk e v_p = ω̄/k̄. Um pacote estreito com um contínuo de frequências tem a mesma v_g ≈ dω/dk.
Onde essa diferença importa na prática?: Na fibra óptica a dispersão da velocidade de grupo alarga o pulso e limita a taxa de transmissão. Na água as cristas costumam atravessar o grupo mais depressa do que o próprio grupo.

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