Por que em águas rasas a velocidade não depende do comprimento de onda?

No limite de águas rasas o movimento vertical é limitado pelo fundo. A força restauradora da gravidade, para ondas longas, deixa de depender de λ e o sistema deixa de ser dispersivo: todas essas ondas vão com a mesma velocidade de fase c = √(gh). Por isso um tsunami em mar aberto (lá ele já é onda de águas rasas) vai longe quase sem se alargar.

Quando se precisa da relação completa, e não bastam os limites de águas profundas e rasas?

A ω² = gk tanh(kh) completa faz falta em profundidades intermediárias, quando h é comparável ao comprimento de onda: plataforma, zona costeira. Ali a curva une com suavidade as assíntotas de águas profundas e de águas rasas.

Como se lê a velocidade de grupo no gráfico ω(k)?

A velocidade de grupo é a inclinação: c_g = dω/dk. Em águas profundas c_g = c_p/2. Em águas rasas a curva é linear, a inclinação é constante e por isso c_g = c_p = √(gh). Na curva completa a inclinação muda com kh.

O modelo serve para ondulações e ondas capilares?

Não: a tensão superficial não entra, e para ondas curtas (em geral de poucos centímetros ou menos) ela é o principal. Nas ondas capilares entra na dispersão um termo ~k³. Aqui só há ondas gravitacionais — marulho, tsunami, onda comum na água.

Dispersão de ondas na água

Ondas gravitacionais na água: limites de águas rasas ω = k√(gh), de águas profundas ω = √(gk) e a relação completa ω² = gk tanh(kh).

Sobre o modelo

Dispersão de ondas na água — a velocidade de fase depende do comprimento de onda. Para ondas gravitacionais de superfície a teoria linear dá ω² = gk tanh(kh), em que g é a aceleração da gravidade, h a profundidade e k o número de onda. Em águas profundas (kh ≫ 1) tanh(kh) → 1 e ω² = gk: as ondas longas correm mais depressa que as curtas. Em águas rasas (kh ≪ 1) tanh(kh) ≈ kh, donde ω = k√(gh): todas as ondas longas vão com a mesma velocidade √(gh), sem dispersão. No gráfico ω(k) há três curvas — a solução completa e os dois limites assintóticos; pode-se mudar a profundidade e ver a curva completa passar de um limite ao outro. Simplificações: fluido ideal não viscoso, ondas de amplitude pequena, fundo plano, sem tensão superficial.

Para quem: Hidrodinâmica e mecânica de ondas na graduação: dispersão, velocidade de fase e de grupo.

Conceitos-chave

relação de dispersão
frequência angular
número de onda
velocidade de fase
velocidade de grupo
aproximação de águas rasas
ondas em águas profundas
tangente hiperbólica

Como funciona

A dispersão liga a frequência angular ω ao número de onda k. Em águas rasas (λ ≫ h) ω ≈ k√(gh) — linear em k, velocidade de fase √(gh) quase sem dispersão. Em águas profundas (λ ≪ h) ω ≈ √(gk) — lei dispersiva. A curva completa ω² = g k tanh(kh) tem esses dois limites como assíntotas em kh pequeno e grande.

Fórmulas principais

ω² = g k tanh(kh) → profundo: tanh→1 · raso: tanh→kh

Perguntas frequentes

Por que em águas rasas a velocidade não depende do comprimento de onda?: No limite de águas rasas o movimento vertical é limitado pelo fundo. A força restauradora da gravidade, para ondas longas, deixa de depender de λ e o sistema deixa de ser dispersivo: todas essas ondas vão com a mesma velocidade de fase c = √(gh). Por isso um tsunami em mar aberto (lá ele já é onda de águas rasas) vai longe quase sem se alargar.
Quando se precisa da relação completa, e não bastam os limites de águas profundas e rasas?: A ω² = gk tanh(kh) completa faz falta em profundidades intermediárias, quando h é comparável ao comprimento de onda: plataforma, zona costeira. Ali a curva une com suavidade as assíntotas de águas profundas e de águas rasas.
Como se lê a velocidade de grupo no gráfico ω(k)?: A velocidade de grupo é a inclinação: c_g = dω/dk. Em águas profundas c_g = c_p/2. Em águas rasas a curva é linear, a inclinação é constante e por isso c_g = c_p = √(gh). Na curva completa a inclinação muda com kh.
O modelo serve para ondulações e ondas capilares?: Não: a tensão superficial não entra, e para ondas curtas (em geral de poucos centímetros ou menos) ela é o principal. Nas ondas capilares entra na dispersão um termo ~k³. Aqui só há ondas gravitacionais — marulho, tsunami, onda comum na água.

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