Por que numa corda fixa só cabem os harmônicos?

Nas duas extremidades tem de haver um nó. Só os comprimentos de onda λ = 2L/n satisfazem essa condição, por isso as frequências são discretas: f_n = n v/(2L).

Em que o nó difere do ventre?

O nó fica imóvel: a onda incidente e a refletida cancelam-se. No ventre o deslocamento é máximo — as ondas somam-se em fase.

Como a tensão muda a altura do som?

Maior T — maior v = √(T/μ) e maior f_n = n v/(2L). Assim se afina um violão: mais tensão na corda, tom mais agudo.

Quanto isso se parece com um violão ou um violino?

A série harmônica f_n = n f_1 é a base dos instrumentos de corda. Cordas reais têm rigidez e inhomogeneidade, e o corpo dá amortecimento e ressonâncias próprias — daí o timbre, que no modelo ideal não aparece.

Ondas estacionárias

Ondas estacionárias numa corda fixa: harmônicos, nós e ventres.

Sobre o modelo

As ondas estacionárias numa corda formam-se na soma de duas ondas iguais que viajam em sentidos opostos. Para uma corda de comprimento L, densidade linear μ e tensão T a velocidade é v = √(T/μ). Extremidades fixas exigem deslocamento nulo: só cabem λ_n = 2L/n e as frequências dos harmônicos f_n = n v/(2L) = n f_1. Na tela veem-se os nós (deslocamento nulo) e os ventres (máximo). Modelo: corda homogênea e flexível, extremidades rígidas, sem amortecimento, sem rigidez à flexão e sem não linearidade.

Para quem: Ensino médio e início da graduação: harmônicos, nós e ventres numa corda.

Conceitos-chave

ondas estacionárias
harmônico
nó
ventre
frequência fundamental
ressonância
superposição de ondas
condição de contorno

Como funciona

Onda estacionária ideal numa corda fixa nas duas extremidades: só cabem os harmônicos com comprimentos de onda λₙ = 2L/n. Os nós ficam imóveis; os ventres oscilam com amplitude máxima. Mudar n muda o número de meios comprimentos de onda.

Fórmulas principais

y = A sin(nπx/L) cos(ωₙt), ωₙ = nπc/L

Nós: x = mL/n (m = 0,…,n). Ventres: x = (m+½)L/n (m = 0,…,n−1).

Perguntas frequentes

Por que numa corda fixa só cabem os harmônicos?: Nas duas extremidades tem de haver um nó. Só os comprimentos de onda λ = 2L/n satisfazem essa condição, por isso as frequências são discretas: f_n = n v/(2L).
Em que o nó difere do ventre?: O nó fica imóvel: a onda incidente e a refletida cancelam-se. No ventre o deslocamento é máximo — as ondas somam-se em fase.
Como a tensão muda a altura do som?: Maior T — maior v = √(T/μ) e maior f_n = n v/(2L). Assim se afina um violão: mais tensão na corda, tom mais agudo.
Quanto isso se parece com um violão ou um violino?: A série harmônica f_n = n f_1 é a base dos instrumentos de corda. Cordas reais têm rigidez e inhomogeneidade, e o corpo dá amortecimento e ressonâncias próprias — daí o timbre, que no modelo ideal não aparece.

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