O que significam os números m e n no tambor?

m é o número de diâmetros nodais (retas imóveis que passam pelo centro). n é o número de circunferências nodais concêntricas dentro da borda fixa. O modo (2, 1) dá dois diâmetros e um anel.

Por que aqui entram funções de Bessel, e não senos?

Os senos resolvem o problema no retângulo ou na corda. No círculo a parte radial tem de se anular em r = a; essa solução é J_m(kr).

Dá para ver essas linhas num tambor de verdade?

Sim: a areia sobre a membrana junta-se nos nós — a mesma ideia das figuras de Chladni. O timbre do tambor é justamente o conjunto desses modos e o amortecimento de cada um.

Oscilações de uma membrana circular

Modos próprios de um tambor: J_m(k_{mn} r) cos(mθ); diâmetros nodais m e anéis n.

Sobre o modelo

Oscilações de uma membrana circular com a borda fixa — tambor, cone de alto-falante: ondas estacionárias em coordenadas polares. O modo (m, n) tem a forma J_m(k_{mn} r) cos(mθ), em que J_m é a função de Bessel de primeira espécie, m é o número de diâmetros nodais e n o de circunferências nodais interiores. O número de onda k_{mn} sai da condição J_m(k_{mn} a) = 0 no raio a; a frequência f_{mn} é proporcional a k_{mn}. Na tela aparecem a altura da membrana e as linhas nodais. A tensão é uniforme; não entram a rigidez à flexão, a carga do ar nem o amortecimento.

Para quem: Ondas e acústica na graduação: oscilações próprias de uma membrana circular, funções de Bessel.

Conceitos-chave

membrana circular
função de Bessel
modo normal
linha nodal
frequência própria
onda estacionária

Como funciona

Membrana circular com a borda presa: onda estacionária J_m(k r) cos(mθ), em que kR vem dos zeros da função de Bessel. O número m fixa os diâmetros nodais; n, os anéis. Na tela, o mapa de deslocamento; é o esquema de um modo, não o cálculo da carga acústica do tambor.

Perguntas frequentes

O que significam os números m e n no tambor?: m é o número de diâmetros nodais (retas imóveis que passam pelo centro). n é o número de circunferências nodais concêntricas dentro da borda fixa. O modo (2, 1) dá dois diâmetros e um anel.
Por que aqui entram funções de Bessel, e não senos?: Os senos resolvem o problema no retângulo ou na corda. No círculo a parte radial tem de se anular em r = a; essa solução é J_m(kr).
Dá para ver essas linhas num tambor de verdade?: Sim: a areia sobre a membrana junta-se nos nós — a mesma ideia das figuras de Chladni. O timbre do tambor é justamente o conjunto desses modos e o amortecimento de cada um.

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