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Inicio/Ondas y sonido/Oscilaciones de una membrana circular

Oscilaciones de una membrana circular

Modos propios de un tambor: J_m(k_{mn} r) cos(mθ); diámetros nodales m y anillos n.

Modo

2
1
0.4

Placa circular ideal: z ∝ J_m(k r) cos(mθ) con kR de los ceros de J_m — estrellas, anillos y «telarañas», como la sal sobre un tambor.

Magnitudes medidas

α (cero)5.1356
FormaJ_2(α r/R) cos(2θ)

Sobre el modelo

Las oscilaciones de una membrana circular con el borde fijo — un tambor, un diafragma — son ondas estacionarias en coordenadas polares. El modo (m, n) tiene la forma J_m(k_{mn} r) cos(mθ), donde J_m es la función de Bessel de primera especie, m es el número de diámetros nodales y n el de circunferencias nodales interiores. El número de onda k_{mn} sale de la condición J_m(k_{mn} a) = 0 en el radio a; la frecuencia f_{mn} es proporcional a k_{mn}. En pantalla se ve la altura de la membrana y las líneas nodales. La tensión es uniforme; no se tienen en cuenta la rigidez a la flexión, la carga del aire ni el amortiguamiento.

Para quién: Ondas y acústica de facultad: oscilaciones propias de una membrana circular, funciones de Bessel.

Conceptos clave

  • membrana circular
  • función de Bessel
  • modo normal
  • línea nodal
  • frecuencia propia
  • onda estacionaria

Cómo funciona

Membrana circular con el borde fijo: onda estacionaria J_m(k r) cos(mθ), donde kR se toma de los ceros de la función de Bessel. El número m fija los diámetros nodales; n, los anillos. En pantalla, el mapa de desplazamiento; es el esquema de un modo, no el cálculo de la carga acústica del tambor.

Preguntas frecuentes

¿Qué significan los números m y n en el tambor?
m es el número de diámetros nodales (rectas inmóviles que pasan por el centro). n es el número de circunferencias nodales concéntricas dentro del borde fijo. El modo (2, 1) da dos diámetros y un anillo.
¿Por qué aquí hay funciones de Bessel y no senos?
Los senos resuelven el problema en un rectángulo o en una cuerda. En el círculo la parte radial debe anularse en r = a; esa solución es J_m(kr).
¿Se pueden ver estas líneas en un tambor de verdad?
Sí: la arena sobre la membrana se junta en los nodos — la misma idea que en las figuras de Chladni. El timbre del tambor lo fija precisamente el conjunto de estos modos y su amortiguamiento.