Por que no tambor os sobretons não são harmônicos?

As frequências próprias da membrana circular vêm dos zeros das funções de Bessel J_m. As razões não são inteiras, ao contrário dos harmônicos de uma corda com extremidades fixas.

Leva-se em conta a rigidez da placa?

No modelo de membrana, não. A rigidez de flexão acrescenta um termo com o operador biharmônico e muda o espectro: isso já é placa, não membrana.

O que significa borda fixa?

Deslocamento u = 0 no contorno — o análogo das extremidades fixas da corda. A escolha da borda muda as frequências próprias e o desenho das linhas nodais.

Por que, no retângulo, os modos são produtos de senos?

Com u = 0 nos lados do retângulo as variáveis separam-se: X(x)Y(y), e cada lado dá um seno com um número inteiro de semiondas. No círculo a separação é em coordenadas polares — daí Bessel.

2D wave equation (membrane)

Esquema explícito num retângulo com bordas fixas: pulso gaussiano, frentes circulares, reflexões nas bordas.

Sobre o modelo

A equação de onda bidimensional u_tt = c²∇²u descreve as oscilações transversais de uma membrana esticada. Num retângulo com bordas fixas (u = 0 no contorno), o esquema explícito mostra o pulso gaussiano que se espalha, as frentes circulares e as reflexões nas bordas. Os modos normais são ondas estacionárias com linhas nodais: no retângulo, produtos de senos; no círculo, a estrutura radial liga-se aos zeros das funções de Bessel (figuras de Chladni). As frequências dependem da geometria, da tensão e da densidade superficial; os sobretons do tambor, ao contrário da corda, não são múltiplos do tom fundamental. Simplificações: sem amortecimento, sem tensão não linear e sem carga acústica do ar.

Para quem: Física das ondas e equações diferenciais parciais depois da corda: modos da membrana, figuras de Chladni.

Conceitos-chave

equação de onda
membrana
modos normais
linhas nodais
figuras de Chladni
funções de Bessel
condições de contorno

Como funciona

Na membrana com borda fixa, u_tt = c²∇²u. O pulso gaussiano dá frentes circulares e reflexões; os modos normais são ondas estacionárias com linhas nodais. No retângulo, produtos cartesianos de senos; no círculo, nós radiais das funções de Bessel. Os sobretons do tambor não são múltiplos do tom fundamental, ao contrário da corda.

Perguntas frequentes

Por que no tambor os sobretons não são harmônicos?: As frequências próprias da membrana circular vêm dos zeros das funções de Bessel J_m. As razões não são inteiras, ao contrário dos harmônicos de uma corda com extremidades fixas.
Leva-se em conta a rigidez da placa?: No modelo de membrana, não. A rigidez de flexão acrescenta um termo com o operador biharmônico e muda o espectro: isso já é placa, não membrana.
O que significa borda fixa?: Deslocamento u = 0 no contorno — o análogo das extremidades fixas da corda. A escolha da borda muda as frequências próprias e o desenho das linhas nodais.
Por que, no retângulo, os modos são produtos de senos?: Com u = 0 nos lados do retângulo as variáveis separam-se: X(x)Y(y), e cada lado dá um seno com um número inteiro de semiondas. No círculo a separação é em coordenadas polares — daí Bessel.

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