Por que duas massas têm exatamente dois modos normais?

Há tantos modos quanto graus de liberdade: duas massas, cada uma ao longo de um eixo. Qualquer outro movimento é combinação linear dos modos simétrico e antissimétrico.

O que são batimentos?

São «passagens» lentas de energia quando se excitam ao mesmo tempo dois modos de frequências próximas. Se se desloca uma massa e a outra fica em repouso, entram os dois modos; a frequência dos batimentos é |ωₐ − ωₛ|.

Como obter só um modo?

Desloque as duas massas igualmente — a mola do meio não trabalha e resta ωₛ. Desloque-as uma contra a outra pelo mesmo valor — excita-se sobretudo ωₐ. As predefinições do painel montam justamente essas condições iniciais.

Onde mais aparecem oscilações acopladas?

Dois pêndulos numa mola comum, átomos numa rede, circuitos oscilantes acoplados, ligações numa molécula. Os modos normais são a linguagem comum desses sistemas.

Oscilações acopladas

Duas massas e três molas: modos normais ωₛ, ωₐ e batimentos.

Gráficos

Sobre o modelo

Oscilações acopladas — duas massas iguais entre duas molas externas de constante k e uma mola central de constante K. As equações: mẍ₁ = −k x₁ − K(x₁ − x₂), mẍ₂ = −k x₂ − K(x₂ − x₁). O movimento decompõe-se em modos normais: o simétrico (as massas juntas, a mola do meio não se deforma), com frequência ωₛ = √(k/m), e o antissimétrico (uma contra a outra), com ωₐ = √((k + 2K)/m). Se as três molas são iguais (K = k), recupera-se o familiar ωₐ = √(3k/m). Uma partida qualquer é superposição dos modos; com frequências próximas aparecem batimentos: a energia passa devagar de uma massa à outra. As molas obedecem à lei de Hooke, não há amortecimento e o movimento é unidimensional.

Para quem: Ensino médio avançado e primeiro período: modos normais, batimentos, oscilações acopladas de duas massas.

Conceitos-chave

oscilações acopladas
modos normais
batimentos
lei de Hooke
modo simétrico
modo antissimétrico
superposição

Como funciona

Duas massas iguais ficam entre molas extremas de constante k e ligam-se pela mola central K. Frequências normais: ωₛ = √(k/m) (massas juntas) e ωₐ = √((k + 2K)/m) (uma contra a outra). Uma partida qualquer é superposição dos modos; nos gráficos x₁(t) e x₂(t) veem-se os batimentos.

Fórmulas principais

mẍ₁ = −k x₁ − K(x₁ − x₂) · mẍ₂ = −k x₂ − K(x₂ − x₁)

ωₛ = √(k/m) · ωₐ = √((k + 2K)/m)

Perguntas frequentes

Por que duas massas têm exatamente dois modos normais?: Há tantos modos quanto graus de liberdade: duas massas, cada uma ao longo de um eixo. Qualquer outro movimento é combinação linear dos modos simétrico e antissimétrico.
O que são batimentos?: São «passagens» lentas de energia quando se excitam ao mesmo tempo dois modos de frequências próximas. Se se desloca uma massa e a outra fica em repouso, entram os dois modos; a frequência dos batimentos é |ωₐ − ωₛ|.
Como obter só um modo?: Desloque as duas massas igualmente — a mola do meio não trabalha e resta ωₛ. Desloque-as uma contra a outra pelo mesmo valor — excita-se sobretudo ωₐ. As predefinições do painel montam justamente essas condições iniciais.
Onde mais aparecem oscilações acopladas?: Dois pêndulos numa mola comum, átomos numa rede, circuitos oscilantes acoplados, ligações numa molécula. Os modos normais são a linguagem comum desses sistemas.

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