As oscilações duram para sempre?

Neste modelo idealizado e conservativo, sim: as órbitas são fechadas e não há amortecimento. Na natureza esses ciclos sem decaimento são raros: a capacidade de suporte e a saturação da caça em geral dão um ciclo limite ou um foco estável.

O que significa o ponto de equilíbrio (γ/δ, α/β)?

São as populações constantes em que as duas derivadas valem zero. Se o sistema parte exatamente no ponto, as populações ficam. O equilíbrio é de estabilidade neutra: um deslocamento pequeno dá oscilações persistentes em volta, não um retorno nem uma fuga.

Por que a interação se escreve como NP?

É a lei da ação das massas: a probabilidade de um encontro ao acaso é proporcional ao produto das populações. A mesma simplificação aparece na cinética química e nos modelos epidêmicos mais simples.

Quais são as simplificações principais do modelo?

A presa não tem capacidade de suporte, o predador come uma só espécie, não há atraso na reprodução nem refúgios. O modelo de Rosenzweig–MacArthur acrescenta a logística da presa e dá um atrator mais realista.

Lotka–Volterra

Modelo clássico predador–presa: N′ = αN − βNP, P′ = δNP − γP. Plano de fases, integração de Runge–Kutta, ponto de equilíbrio (γ/δ, α/β).

Sobre o modelo

No modelo de Lotka–Volterra, as populações da presa e do predador oscilam com um atraso de fase. O sistema: dN/dt = αN − βNP, dP/dt = δNP − γP, em que α é o crescimento da presa sem predador, β a intensidade da caça, δ a eficiência com que o alimento vira crias do predador e γ a mortalidade do predador. Os termos βNP e δNP são a lei da ação das massas: a taxa de encontros é proporcional ao produto das populações. Não há capacidade de suporte, nem estrutura etária nem espaço: sem predador a presa cresce de forma exponencial. O equilíbrio não nulo (N*, P*) = (γ/δ, α/β) é um centro de estabilidade neutra: as órbitas no plano (N, P) são fechadas e a amplitude vem das condições iniciais. A integração é o método de Runge–Kutta de quarta ordem; o ponto vermelho marca o equilíbrio. Não há teto logístico da presa, ao contrário do modelo de Rosenzweig–MacArthur.

Para quem: Sistemas dinâmicos e ecologia: EDOs acopladas, plano de fases, estabilidade neutra.

Conceitos-chave

modelo de Lotka–Volterra
predador–presa
plano de fases
ponto de equilíbrio
método de Runge–Kutta
dinâmica de populações
estabilidade neutra
lei da ação das massas

Como funciona

Modelo de Lotka–Volterra: dN/dt = αN − βNP, dP/dt = δNP − γP. Equilíbrio interior (N*, P*) = (γ/δ, α/β). As trajetórias no plano (N, P) são curvas fechadas em volta do centro; não há logística da presa. Integração pelo método de Runge–Kutta; o ponto vermelho é o equilíbrio.

Fórmulas principais

N' = αN − βNP · P' = δNP − γP

Perguntas frequentes

As oscilações duram para sempre?: Neste modelo idealizado e conservativo, sim: as órbitas são fechadas e não há amortecimento. Na natureza esses ciclos sem decaimento são raros: a capacidade de suporte e a saturação da caça em geral dão um ciclo limite ou um foco estável.
O que significa o ponto de equilíbrio (γ/δ, α/β)?: São as populações constantes em que as duas derivadas valem zero. Se o sistema parte exatamente no ponto, as populações ficam. O equilíbrio é de estabilidade neutra: um deslocamento pequeno dá oscilações persistentes em volta, não um retorno nem uma fuga.
Por que a interação se escreve como NP?: É a lei da ação das massas: a probabilidade de um encontro ao acaso é proporcional ao produto das populações. A mesma simplificação aparece na cinética química e nos modelos epidêmicos mais simples.
Quais são as simplificações principais do modelo?: A presa não tem capacidade de suporte, o predador come uma só espécie, não há atraso na reprodução nem refúgios. O modelo de Rosenzweig–MacArthur acrescenta a logística da presa e dá um atrator mais realista.

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