Em que a logística difere da exponencial dN/dt = rN?

A exponencial supõe recursos ilimitados e vai ao infinito. A logística põe um teto K: o fator (1 − N/K) freia o crescimento, a curva chega a um patamar e não a um disparo em forma de J.

A capacidade de suporte K é constante na natureza?

Não: é uma simplificação. A seca, o alimento e as doenças movem K. No modelo K é constante — a base teórica; as populações reais muitas vezes oscilam em volta de um teto que muda.

Para que serve a solução exata N(t)?

Dá a população em qualquer instante sem um passo de tempo e confirma que o limite quando t → ∞ é K. Aqui o gráfico se constrói com a fórmula, não com o método de Euler, para não misturar o erro do esquema com o próprio modelo.

Só se usa para populações de animais?

Não. A mesma equação é o molde de qualquer crescimento com teto: adoção de uma tecnologia, saturação de uma audiência, um crescimento tumoral simplificado. O sentido do fator (1 − N/K) é um só: o recurso falta.

Crescimento logístico

Equação logística dN/dt = rN(1 − N/K): curva em S e saturação na capacidade de suporte K. O gráfico é a solução exata, não um passo de Euler.

Sobre o modelo

O crescimento logístico descreve uma população em um meio com recursos limitados. Diferente da exponencial dN/dt = rN, a equação dN/dt = rN(1 − N/K) introduz a capacidade de suporte K: a maior população sustentável. Se N ≪ K, o fator (1 − N/K) ≈ 1 e o crescimento é quase exponencial; ao se aproximar de K a velocidade cai a zero e N(t) chega a um patamar: a forma em S (sigmoide) característica. A solução exata: N(t) = K / (1 + ((K − N₀)/N₀) e^{−rt}). Podem-se mudar r, K, N₀ e o comprimento do intervalo. Não há estrutura etária, nem atraso nem K variável: é o modelo básico do crescimento dependente da densidade em ecologia e nos problemas de EDO.

Para quem: Ecologia e equações diferenciais ordinárias: crescimento limitado, capacidade de suporte.

Conceitos-chave

crescimento logístico
capacidade de suporte
taxa intrínseca de crescimento
equação logística
curva sigmoide
dinâmica de populações
crescimento dependente da densidade
crescimento exponencial

Como funciona

Equação logística dN/dt = rN(1 − N/K): no começo um crescimento quase exponencial, depois saturação em K. O gráfico se constrói com a solução exata N(t) = K / (1 + ((K − N₀)/N₀) e^{−rt}), não com um passo de Euler. Os controles r, K e N₀ mudam a inclinação e o teto da curva em S.

Fórmulas principais

N(t) = K / (1 + ((K − N₀)/N₀) e^(−rt))

Perguntas frequentes

Em que a logística difere da exponencial dN/dt = rN?: A exponencial supõe recursos ilimitados e vai ao infinito. A logística põe um teto K: o fator (1 − N/K) freia o crescimento, a curva chega a um patamar e não a um disparo em forma de J.
A capacidade de suporte K é constante na natureza?: Não: é uma simplificação. A seca, o alimento e as doenças movem K. No modelo K é constante — a base teórica; as populações reais muitas vezes oscilam em volta de um teto que muda.
Para que serve a solução exata N(t)?: Dá a população em qualquer instante sem um passo de tempo e confirma que o limite quando t → ∞ é K. Aqui o gráfico se constrói com a fórmula, não com o método de Euler, para não misturar o erro do esquema com o próprio modelo.
Só se usa para populações de animais?: Não. A mesma equação é o molde de qualquer crescimento com teto: adoção de uma tecnologia, saturação de uma audiência, um crescimento tumoral simplificado. O sentido do fator (1 − N/K) é um só: o recurso falta.

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