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Início/Visualização matemática/SEIR / SEIRS

SEIR / SEIRS

S + E + I + R = 1: a latência σE atrasa a infectividade, recuperação γI; opcionalmente ωR → S; ℛ₀ = β/γ; gráfico por RK4.

Parâmetros (normalização N = 1)

0.55
0.35
0.2
0.01
0.004
0

O compartimento E desloca o pico do surto; ℛ₀ = β/γ, pois de E só há saída para I. No SEIRS, com ω > 0, podem ocorrer ondas repetidas; o pontilhado 1 − 1/ℛ₀ vale só no SEIR.

Atalhos de teclado

  • •Espaço ou Enter — reproduzir / pausar
  • •R — reiniciar a série temporal

Grandezas medidas

S (agora)0.986
E (agora)0.010
I (agora)0.004
R (agora)0.000
ℛ₀ = β/γ2.750
Coletiva ≈ 1 − 1/ℛ₀0.636
Latente médio 1/σ2.9 d
Infeccioso médio 1/γ5.0 d

Sobre o modelo

SEIR / SEIRS: o SEIR amplia o SIR com o compartimento E (expostos, ainda não infecciosos): o contágio βSI leva a E, depois a passagem a I tem intensidade σ, e a recuperação é γI → R. A normalização é S + E + I + R = 1. A variante SEIRS acrescenta a perda de imunidade ωR → S, o que pode dar endemia ou ondas repetidas. Nesta versão, de E só há saída para I, por isso ℛ₀ = β/γ: o parâmetro σ muda o atraso e a forma do pico, mas não o limiar de invasão. Integração RK4, renormalização depois do passo, gráficos de S, E, I, R, marca do pico de I; o pontilhado 1 − 1/ℛ₀ só no modo SEIR (ω = 0). Não há nascimentos nem mortes, sazonalidade, espaço nem estocasticidade — modelo didático de latência e de imunidade decrescente.

Para quem: Epidemiologia matemática e curso de EDOs: período latente e surtos repetidos com ω > 0, depois do SIR.

Conceitos-chave

  • modelo SEIR
  • modelo SEIRS
  • período latente
  • compartimento E (expostos)
  • imunidade decrescente
  • número reprodutivo básico ℛ₀
  • método de Runge–Kutta

Como funciona

O SEIR acrescenta os expostos E: o contágio βSI leva a E, a passagem σE → I, a recuperação γI → R. De E só há saída para I, por isso ℛ₀ = β/γ, e σ fixa o atraso do pico. O SEIRS devolve suscetíveis pelo fluxo ωR → S — podem ocorrer endemia e ondas repetidas. Integrador RK4 com renormalização de S+E+I+R; no gráfico, as quatro frações e o pico de I(t).

Fórmulas principais

S' = −βSI + ωR · E' = βSI − σE · I' = σE − γI · R' = γI − ωR

Perguntas frequentes

Por que ℛ₀ continua β/γ mesmo com E?
De E só há uma saída — a passagem a I com intensidade σ. Todo infectado acaba infeccioso e passa em I o tempo médio 1/γ; com S ≈ 1 o número esperado de casos secundários é β/γ. Um σ pequeno atrasa o surto, mas não tira casos da cadeia.
Como E muda a curva do surto?
O I é alimentado por E, e não direto pelos novos contágios, por isso o crescimento de I(t) atrasa: o pico de infecciosos em geral se desloca para a direita em relação ao SIR com o mesmo ℛ₀.
Para que servem o modo SEIRS e o parâmetro ω?
Com ω > 0 os recuperados voltam a ser suscetíveis; o quadro «uma onda e imunidade coletiva para sempre» deixa de valer. O pontilhado 1 − 1/ℛ₀ some no SEIRS: o limiar foi calculado com imunidade permanente.
Por que renormalizar S + E + I + R depois do passo de RK4?
A integração numérica dá um pequeno desvio da soma das frações; dividir pela soma mantém o estado no simplexo, sem distorcer de modo visível a dinâmica no passo usado.